Bizonyítsd be a következő állítást: Annak, hogy egy páratlan szám négyzetszám legyen, szükséges, de nem elegendő feltétele, hogy 8n+1 (n eleme N) alakú legyen. Hogy?

Állítás: egy páratlan szám négyzetszám:

Elégséges feltétel lenne, ha minden n-re igaz lenne:

n = 0, an = 1 <-négyzet szám, páratlan

n = 1, an = 9 <- négyzet szám, páratlan

n = 2, an = 17 <- nem négyzet szám

Szükséges feltétel lenne, ha minden négyzetszám.

Ezt teljes indukcióval tudod bebizonyítani.

példa TI-re:

http://www.gyakorikerdesek.hu/tudomanyok__alkalmazott-tudoma..

Ezt is levezethetem neked, de abból nem fogsz tanulni.

Nem is kell TI. Bár azzal gondolkodás nélkül lehet dolgozni, azért szeretem.

8n + 1 = (2a - 1 )^2 == páratlan számok négyzete

Az 'a' egész szám olyan, hogy:

- bármilyen a-ra létezik n (szükséges)

- bármilyen n-re létezik a (elégséges)

8n + 1 = 4a^2 - 4a + 1

8n = 4a^2 - 4a

2n = aa - a

2n = a(a - 1)

Ha 'a' páratlan, akkor (a - 1) páros

Ha 'a' páros, akkor (a - 1) páratlan

páros * páratlan = páros

Tehát a(a - 1) mindenképpen páros, osztható 2-vel és egész szám lesz, ezért

2n osztva kettővel is egész szám lesz.

Szükségesség bizonyítva :)