Mi az a szinusz hullám?

Egy függvény. Olyan mint pl. a lineáris függvény . Az "x" tengelyen a szögeket tünteted fel , és ehhez rendeled hozzá a szögnek a szinuszát. Az , meg hogy mi az a szinusz , arra a válasz , az az , hogy egy szögfüggvény , egy derékszögű háromszögben a szöggel szemközti befogó és az átfogó hányadoság értjük alatta. Ez mindig egy szögre jellemző számértéket ad. Pl. sin60fok = 0,86. Ez azt jelenti,hogyha a szöged 60fok , akkor a vele szemközti oldal meg az átfogót ha elosztod egymással pontosan ennyit fogsz kapni.

üdv

20f

Fogj egy 30 cm-es hagyományos műanyag vonalzót és helyezd függőlegese az asztalra, a végét pedig kezd el nyomni az asztal felé.

A vonalzó kihajlik oldalra. Ránézésre félkörszerű valaminek látszik, de az valójában egy fél szinusz hullám.

Ha ezt az alakzatot kiegészítenéd arányosan még egy fél szinusz hullámmal, akkor egy teljes szinusz hullámot kapsz.

Hasonlóképp például biztosan láttad, amikor mondjuk hullámzik a víz felszine. Na ezek is szinuszhullámok, csak mivel felületet mutat, ezért felületi szinuszhullámok.

Vagy pl. köss egy kb. 4m hosszú kötelet az ajtókilincsre, ellentétes végét pedig kezd el, kötélre erőleges irányban ütemesen mozgatni. A kötél hullámzásba jön, és szinusz hullám alakja lesz.

Látható, hogy számos természetbeli jelenségnek köze van a szinuszhullámhoz, ezért aztán jött az ötlet, hogy matematikailag is közelítsünk meg egy-egy problémát.

Ilyen matematikai megfontolásokat említettek az eddigi hozzászólók.

Én is említenék egyet, amely talán megérteti a dolog mibenlétét.

Az alapprobléma az, hogy y értékeket kell előállítani x értékekhez, mégpedig úgy hogy ha az x értékek osztásköze állandó, akkor a hozzájuk tartozó y értékek az említett szinuszgörbe jellegét adják.

A derékszögű koordinátarendszerben legyenek az x értékek a vízszintes, az y értékek a függőleges tengelyen.

Az kell tehát hogy pl. az x=0 helyhez y=0 tartozzon, és pl. x=pi (3.141) -hez szintén y=0.

A kettő között tehát pi/2-nél meg az y érték maximális legyen.

Van tehát 3 pont, és egy olyan görbét kell alkotni, ami ezeken átmegy, sőt kiadja azt a szép íves szinuszt is.

Sok olyan görbe van persze, ami 3 ponton átmegy, a legegyszerűbb pl. ha egyenes vonalakkal összekötjük, őket, ekkor egy egyenlőszárú háromszöget kepunk.

Persze lefelé nyíló parabolát is rakhatnánk rá.

De akár 4-ed fokú polinomot.

Ezeknek egy problémája van: Nem periódikus. Mert ugye az kell, hogy a további intervallumokban is szépen görbüljön az a szinuszgörbe, pl.

x=pi... 2pi szakaszon lefelé görbüljön, és 1,5 pi-nél minimuma legyen.

Sőt minden x=1,5pi+2*pi helyen minimum kell és minden x=pi/2+2k*pi helyen maximum. (Azaz ott egy púpja van a diagramnak).

Sőt a maximumok és minimumok speciálisan legyenek

+1 és -1.

Na ezt a periódikusságot és szép görbületet tudják egyszerre a szinusz függvények(és a többi trigonometrikus függvény: cosinus, tangens, cotangens, secáns, cosecáns).

(Jó persze lehet csinálni pl. parabolákból is periodikus görbéket, ahol persze szintén szinuszra meg cosinusra van visszavezetve az egész, de most a Fourier sorfejtésbe ne menjünk bele).

Na tehát kitalálták a matematikusok, hogy hogyan kell előállítani ezt a szinusz fv.-t:

Képzelj el egy 1 sugarú, origó középpontú kört.

A vízszintes koordináta tengely legyen most u. (Nem x!)

A függőleges pedig y.

Veszünk egy origóbol induló 1 hosszúságú forgóvektort.

A forgáspont az origó:

Először mutasson a vektor az u tengely irányába, azaz a

P(1;0) pontba. Ebben a pontban u=1 és y=0

Most mutasson pl. a forgóvektor az y tengely irányába, azaz a Q(0;1) pontba. Itt u=0 és y=1.

Az előző esetben a forgóvektor az u tengellyel 0 radián szöget zárt be.

A második esetben 90°-ot aza pi/2 radián szöget.

Adódik a ötlet, hogy mérjünk ezentúl egy harmadik mennyiséget is (az első kettő az u és y volt) mégpedig a szöget.

A szöget jelölje x.

Az 1. esetben: x=0 rad. és y=0.

2. esetben: x=pi/2rad és y=1

Ha 45°-ban van a vektor, akkor: x=pi/4 rad és y=gyök2/2=közelítve=0,7071.

Na most ha ezzel a mechanizmussal szépen forgatod a vektort, és leméred az x szöget és hozzá az y értéket és ezt egy másik diagramban, mely vízszintes tengelye x, függőleges tengelye y berajzolod, akkor most megkaptad a szinusz görbét.