Hogy kell megoldani az alábbi lineáris egyenletrendszert a Gauss eliminációval?

Az egyenletrendszer mátrixa:

(2 1 -2 2 -4)

(3 2 3 5 -15)

(-2 4 -1 -3 -2)

(4 -3 -1 5 -2)

Ránézésre észrevehetjük, hogy az első sor az utolsó kettő összege, ezért az első sort kihúzhatjuk. Továbbá a második sorhoz hozzáadjuk a harmadikat, azért, hogy a bal felső sarokban 1 szerepeljen, és ne kelljen törtekkel bajlódni.

(1 6 2 2 -17)

(-2 4 -1 -3 -2)

(4 -3 -1 5 -2)

Most kezdjük a tényleges eliminációt. A második sorhoz hozzáadjuk az első kétszeresét, a harmadik sorból kivonjuk az első négyszeresét.

(1 6 2 2 -17)

(0 16 3 1 -36)

(0 -27 -9 -3 66)

Az utolsó sort elosztjuk 3-mal.

(1 6 2 2 -17)

(0 16 3 1 -36)

(0 -9 -3 -1 22)

Az utolsó sorhoz hozzáadjuk a második sor 9/16-szorosát.

(1 6 2 2 -17)

(0 16 3 1 -36)

(0 0 -21/16 -7/16 7/4)

Az utolsó sort megszorozzuk 16/7-del.

(1 6 2 2 -17)

(0 16 3 1 -36)

(0 0 -3 -1 4)

Az utolsó egyenlet kiírva:

-3*x3-x4=4.

Ha tehát x4=t, akkor

x3=-1/3*(t+4).

A középső egyenlet

16*x2+3*x3+x4=-36.

Behelyettesítve a már megkapott értékeket

16*x2=-32,

x2=-2.

Végül az első egyenlet

x1+6*x2+2*x3+2*x4=-17.

Behelyettesítés:

x1-12-2/3*(t+4)+2t=-17,

x1=-7/3-4/3t.

Tehát tetszőleges t valós szám esetén

x1=-7/3-4/3t

x2=-2

x3=-1/3*(t+4)

x4=t

megoldja az egyenletrendszert.