Az ABC derékszögű háromszög kerületének mely p pontján lesz pa+pb+pc távolságösszeg minimális?

Jelöljük (szokás szerint) a derékszögű csúcsot C-vel, az átfogót c-vel, az A illetve B csúcsokkal szemközti befogót a-val illetve b-vel.

Tegyük fel először, hogy P valamelyik befogón, pl. AC-n van. Ekkor

PA+PC+PB=b+PB,

ez akkor minimális, ha PB a B pont és AC egyenes távolsága, vagyis PB=a és P=C. Tehát ekkor C a derékszögű csúcs és a távolságösszeg a+b.

Nézzük meg, hogy mi a helyzet, ha P az átfogón van. Ekkor

PA+PB+PC=c+PC,

ez akkor minimális, ha PC a C csúcs és az átfogó távolsága, vagyis P az átfogóhoz tartozó magasság talppontja és PC=m az átfogóhoz tartozó magasság. Ekkor a távolságösszeg c+m.

Meg kell mutatnunk, hogy c+m>a+b, tehát az első eset adja a valódi minimumot.

Egyszerűbb a kifejezések négyzeteit összehasonlítani:

(c+m)^2=c^2+2mc+m^2,

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.

A két kifejezésben a^2+b^2=c^2 (Pitagorasz), valamint 2mc=2ab (mindkettő a terület négyszerese). Így - behelyettesítés és az egyenlő tagok kivonása után - azt kell bebizonyítani, hogy

m^2>0,

ami nyilvánvaló.