SOS: hány olyan háromszög van melynek minden oldala cm-ben egészek, s kerülete 20 cm?

helyesbítek:

19*18/2/3

fogsz egy 20cm hosszú számegyenest. ez a kerület kiterítve. erre kell leraknod két töréspontot egész számokra, hogy három oldalt kapjál. a 0-ra éz a 20-ra nem rakhatsz, mert akkor az egyik oldal 0 hosszúságú lenne.

ebből következően az első pontra 19 lehetőséged van, a másodikra meg 18, mert az elsőre nem rakhattál. ez a 19*18. osztani azért kell kettővel, mert mindegy, hogy előbb pl. 4-et és utána 6-ot rakod le, vagy előbb a 6-ot és utána a 4-et.

hárommal pedig azért kell osztani, mert mindegy, hogy az oldalhosszak ABC, BCA vagy CAB sorrendben követik-e egymást. (az ACB viszont már tükörkép, azaz másik háromszög)

Ebbe te beleszámoltad azt is, amikor az egyik oldal 1 hosszú (az 1-re rakunk) és a másik oldal 18 hosszú (a 19-re rakunk). Ekkor a harmadik oldal 1 hosszú lesz, márpedig az a háromszög, amelynek oldalai 1, 1 és 18 hosszúak, az érdekesen néz ki.

(Másrészt ha csak egybevágóság erejéig nézzük, akkor az is mindegy, hogy tükrösek-e.)

Tessék tovább törni a fejeteket! Majd este megírom a rendes megoldást, ha addig nem találjátok ki, most viszont van jobb dolgom is.

1. megoldás, esetek összeszámolása.

Ahhoz, hogy a három oldalból lehessen háromszöget csinálni, kell, hogy teljesüljön rájuk a háromszög-egyenlőtlenség. Ha a három oldal x, y és z, akkor x + y > z, y + z > x és z + x > y. Hogy ezt egyszerűbb legyen ellenőrizni, feltehetjük, hogy x kisebb-egyenlő y kisebb-egyenlő z, ekkor csak az kell, hogy x + y > z, ugyanis a másik két egyenlőtlenség triviálisan teljesül. Ezenkívül ez azért is jó, mert egybevágóság erejéig így minden háromszöget pontosan egyszer fogunk számolni. Mivel háromszögekről van szó, ezért x, y, z természetesen pozitívak.

Most eljutottunk odáig a feladatban, hogy háromszögekről van szó (16:03-ig csak ezt felejtettétek el).

x + y + z = 20, így z = 20 - x - y, tehát x és y meghatározza z-t, így csak azt kell meghatározni, hogy x és y hányféle lehet, ezekre fent van egy egyenlőtlenség rendszer, ennek az egész megoldásainak számat kell meghatározni.

A háromszög-egyenlőtlenségből:

(1) x + y > z = 20 - x - y --> y > 10 - x.

A feltevésünkből:

(2) x <= y és

(3) y <= z = 20 - x - y --> y <= 10 - x/2.

Ha belegondoltok, ez már egész kevés lehetőség (ugye figyelembe véve, hogy x és y pozitív egészek).

Ha x = 1: (1) y > 9; (3) y <= 9,5 --> ilyen nincs

Ha x = 2: (1) y > 8; (3) y <= 9 --> 1 darab ilyen (2,9,9)

Ha x = 3: 8,5 >= y > 7 --> 1 db (3,8,9)

x = 4: 8 >= y > 6 --> 2 db (4,7,9), (4,8,8)

x = 5: 7,5 >= y > 5; --> 2 db (5,6,9), (5,7,8)

x = 6: (1) és (3) 7 >= y > 4; (2, ami ugye már nem teljesül az (1) és (3) miatt automatikusan) 6 <= y --> 1 db (6, 7, 7)

Egybevágóság erejéig ez 8 darab háromszög. (S fogadjunk, hogy elég az egybevágóság erejéig...)

És itt hívnám fel a figyelmet az előző válaszoló egy másik, igen súlyos hibájára. Amikor oszt 3-mal, akkor nem említi meg, hogy egyenlő oldalú háromszög nincs a megoldások között, ha lenne akkor 1/3 darab háromszögként venné figyelembe. Szerencsére nincs. Ez azért súlyos hiba, mert ha a tükrösöket is ki akarnánk zárni, akkor az ő gondolatmenetével 28,5 a megoldás. Ilyenkor az egyenlő szárú háromszögek számát kell először levonni.

Szóval ha a csak tükrözéssel egymásba vihető háromszögek különbözőek, akkor a megoldás 12 (ezt már tényleg tessék végig gondolni).

Esetleg érdemes lenne megpróbálnotok megoldani a feladatot K = 20 helyett K = 1000-re.

A legnagyobb oldal is legfeljebb 9, a háromszög egyenlőtlenség miatt, de legalább 7, különben nem ő lenne a legnagyobb. A lehetőségek:

992,983,974,965

884,875,866

776

Ez összesen 8 lehetőség. Feltéve, hogy egybevágóság erejéig értette a feladat kitűzője. :)