Van 1 négyzet alapú szabályos gúla melynek megvan adva a felszíne és a magassága. Hogyan kéne kiszámolni?

Legyen

F = 243 cm²

M = 3 cm - a gúla magassága

a = ? - az alaplap élhossza

m - a palást egy háromszögének magassága

b = ? - a gúla oldaléle

V = ? - a gúla térfogata

Elég az 'a'- t meghatározni, a többi mennyiség ezzel már számolható

A gúla felszíne

F = A + P

ahol

A = a² - az alaplap területe

P - a palást területe, amit jelen esetben 4 egyenlő szárú háromszög alkotja, melyek összterülete

P = 4*a*m/2

P = 2*a*m

Tehát a gúla felszíne

F = a² + 2*a*m

Egyelőre 1 egyenlet van 2 ismeretlennel, de még egy független egyenlet írható fel az 'm' meghatározására

m² = M² + (a/2)²

m =√[M² + (a/2)²]

A felszín egyenletéből kifejezve a magasságot

m = (F - a²)/2a

ha a bal oldalak egyenlők a jobb oldalak is azok, tehát

(F - a²)/2a = √[M² + (a/2)²]

és ebben az egyenletben már csak 'a' ismeretlen.

Mindkét oldalt négyzetre emelve, összevonva, majd rendezve az

F² = 4M²a² + 2Fa²

F² = 2Fa²(2M² + F)

egyenlet adódik, melyből

a² = F²/[2(2M² + F)]

ennek pozitív gyöke az alapél

A hiányzó két adathoz nem is kell gyököt vonni, mivel mindkettőbben az a² mennyiség szerepel

A gúla oldaléle

b² = m² + (a/2)²

b² = m² + a²/4

A gúla térfogata

V = a²*M/3

Remélem, érthető voltam, ha nem, kérdezz.

DeeDee

***********