Az 1 prímszámnak számít?

A prímszám az, aminek pontosan két db osztója van. (technikailag 1 és önmaga)

Az 1-nél csak egy osztó van, ezért nem prím.

A Freud–Gyarmati-féle Számelmélet könyv első fejezete ( [link] vdocuments mx/freud-gyarmati-szamelmelet.html) a következőképpen csoportosítja a számokat (illetve egy gyűrű/„integritási tartomány”) elemeit:

Van a nulla, amit más elemhez hozzáadva nem változtat annak értékén,

vannak az egységek, amik minden más elemnek osztói (az egészek között az 1 és a –1),

és ezeken kívül vannak a prímszámok* és az összetett számok.

A prímszámok definíciója (lásd 1.4.2 definíció) pedig úgy kezdődik, hogy az egységek és a nulla nem lehetnek prímszám.

Tehát az 1 NEM számít prímszámnak.

Egyéb megjegyzés, hogy bár az egész számok elég „szimmetrikusak” a 0-ra nézve, és ezért a számelméletet bevezető szinten gyakran csak a nem-negatív egészek körében tárgyalják, de attól még a prímek –1-szeresei is prímek, ahogy a negatív osztók is osztók. Vannak olyan feladatok (tipikusan az a*x^2 + b*x*y + c*y^2 = d típusú diofantikus egyenletek), ahol a teljes megoldáshoz nem szabad elfelejtkezni róluk. Például a –7 is prím, hiába kisebb, mint +1.

*Lehet, hogy itt korrektebb lett volna felbonthatatlan számokat írni? Valami hozzáértő végig gondolhatja, ha van kedve. De nem célom tökéletesen precíznek lenni, a könyv első fejezete is lényegében csak az egészekről szól.

3

Ezek alapján a prímszámoknak 4 osztója van (1, -1, önmaga, és negatív önmaga)

#4, alapvetően igazad van, ennek orvoslására úgy szokták definiálni, hogy a POZITÍV osztók száma 2, és ez megfelel az eredeti definíciónak is (csak ott nincs értelme külön kiemelni, elvégre a pozitív egész számok halmazán nyilvánvaló okokból csak pozitív számok jöhetnek szóba).

Az alapvető probléma az szokott lenni, hogy a definícióból az emberek nagy többsége csak azt ragadja ki, hogy „csak 1-gyel és önmagukkal osztható számok”, ezzel azonban az a probléma, hogy ez nem a definíció, hanem a definíció következménye. A prímszám definíciója úgy szól, hogy azok a számok, amelyeknek PONTOSAN 2 ossztójuk van, AMIK EGYÉBKÉNT az 1 és önmaguk. És ennek az 1 nem felel meg. De van olyan definíció is, ami úgy mondja ki, hogy azok az 1-NÉL NAGYOBB egész számok prímszámok, amelyek csak 1-gyel és önmagukkal oszthatóak, viszont itt az 1-NÉL NAGYOBB rész zárja ki az 1-et.

"Ezek alapján a prímszámoknak 4 osztója van (1, -1, önmaga, és negatív önmaga)"

Ez alapján viszont az 1-nek is két osztója van, tehát szabály szerint prímszám az 1 (-1) is.

(Nem azt írom, hogy így van, csak az idézett alapból indultam ki.)

A tegnapi 16:23-as vagyok. Kicsit próbáltam visszaemlékezni, hogyan tanították nekem általánosban a számelméletet, és nektek is igazatok van, hogy pedagógiai szempontból nem feltétlenül egy egyetemi jegyzet a legjobb, ha csak távolról érdeklődnek a téma iránt. Nagyon helyesen mondjátok, hogy a "pontosan két osztó" definíció az a nem-negatív/pozitív egészek felett pontos, ami trükkös lehet, hogy ezt nem a prímek, hanem a számelmélet definíciójába rakják be általánosban. Tehát a témakör elején leszögezik, hogy mostantól negatív számokkal nem foglakozunk, és onnan kezdve a definíciókat is egyszerűfbb tanulni.

A másik, amire emlékszem, hogy bár a felsős tanárom (szerencsémre) zseniálisan adta át és szemléltette a feladatmegoldás lépéseit, a definícióra azt mondta, hogy azokat bizony sajnos be kell magolni, mert azok a kivételek ilyen szempontból.

Szóval abban is igazatok van, hogy azért nem prím az 1, mert a definícióból kihagyjuk. De ez kicsit olyan, mint a mérges apuka, mikor kijelenti: "azé', mer' én azt mondtam!" Szóval ez a részlet nem igazán volt motiválva általánosban, és így könnyű elfelejteni. Illetve ezért is jogos, a kérdés. Talán jó lett volna egy egy soros összefoglalót írnom a hozzászólás végére, ami ezt a motivációt írja le expliciten:

>>> Azért nem prím az 1, mert számelméleti szempontból egészen máshogy viselkedik, mint a prímek.

És a matematikusok sem ok nélkül kivételeznek a definícióban, hanem mert szügkséges. Persze, ez nem látszik, ha csak a nem-negatív egészeket vizsgáljuk.

Megjegyzések, további érdekességek:

16:37: Igen, annyi kiegészítéssel, hogy a (valós) _egészek_ (Z) körében a prímeknek pontosan 4 osztója van.

A Gauss-egészek (Z[i]) körében pontosan 8 lesz.

A valósak (R) felett pedig minden prímnek pontosan 73 osztója van. (Avagy miért nem csinálunk számelméletet a racionális számokon, "csak" az egészeken. Ha ez az előbbi állítás leesik, akkor erre is meglesz a motiváció.)

Házi feladat, csak érdeklődöknek, hogy hány osztója van a prímeknek az Euler-egészek (Z[gyök(–3)/2 – 1/2]) körében.

(((Amúgy élvezet látni, hogy néhányan hogy elcsodálkoztak, és még pontozni se mer senki, mert ott a link egy igényes PDF könyvvel. lol

Szal bocs a trollkodásért, de valahol muszály volt. XD)))

Muszáj pontos jé!

Ha már trollkodunk! :)

Ezek alapján a prímszámoknak 4 osztója van (1, -1, önmaga, és negatív önmaga)

Az egynek is