A matematika olyan összefüggések felfedezése-e, amelyek a természet, vagy valamiféle végső valóság "szövetébe ágyazódva" eleve ott vannak, vagy a matematika teljes egészében az emberi agy szüleménye és semmi köze a "valósághoz"?

A matek a logika tudomanya. Felteszel par allitast, hogy ezek legyenek igazak, ezeket hivod axiomaknak, es megnezed hogy ezekbol mi vezetheto le.

Az hogy van egyezes a termeszettel az kb trivialis, hiszen a termeszet is belso szabalyok alapjan mukodik.

Nézzük meg a matematika történetét. Hosszú leszek, de remélhetőleg érthető.

A matematikát arra találtuk ki, hogy a valóságot absztrakt (elvonatkoztatott) szintre emeljük, egy problémát ezen elvonatkoztatott szinten oldjunk meg, és ennek az elvonatkoztatásnak adjunk aztán újra valós jelentést. Van öt kecském, és veszek még két kecsét. Hány kecském lesz? A matematika elvonatkoztat attól, hogy kecskéről van-e szó, almáról, megtett útról, vagy miféle dologról. Mert a vizsgálódás szempontjából valamiféle mennyiség az, ami számít, aminek az összefüggésrendszere független attól, hogy minek és milyen jellegű mennyiségéről van szó. A kecskéből egy absztrakt szám lesz, az absztrakt számon lehet absztrakt műveleteket végezni (5+2=7), és ezt lehet visszavetíteni a valóságra, a 7-es számból egy kecskesereg lesz, ami nem több és nem kevesebb kecskéből áll, mint amit a 7-es szám a valóságban reprezentál kecskék esetén.

Nota bene az ókori görögök a számokba voltak „beleszerelmesedve”. Püthagorasz az arányokban – egész számok arányaiban – látta mindennek a kulcsát. Aztán ahogy fejlődött a matematika, kiderült, hogy nem írható fel minden szám két egész arányaként. Pl. az egységoldalú négyzet átlójának hossza sem, a √2 nem racionális, hanem irracionális szám. Viszont a √2 megszerkeszthető. Így aztán volt egy érezhető váltás a matematikában, a számtan kicsit háttérbe szorult, és sokkal nagyobb figyelmet fordítottak a geometriára.

És jött a matematika első töréspontja. Ugye Eukleidész szépen leírta a geometria axiómáit. Egy tisztességes axiómától az ember azt várja, hogy tényleg magától értődő legyen, hogy az ellenkezőjét feltenni abszurdnak számítson. A legtöbb axiómája és posztulátuma ilyen volt. „Egyenlőkhöz egyenlőket adva egyenlőket kapunk”. Nem tudom bizonyítani, de nem is kell, magától értődő, abszurd a feltételezése is az ellenkezőjének. Vagy „az egész nagyobb, mint a része”. Nyilván. Hogy is lehetne máshogy? De a posztulátumok is ilyenek: „bármely középponttal és sugárral lehessen kört rajzolni”. Oké, nyilván a mi világunk olyan, hogy tudunk. Nem tudom bizonyítani, de elképzelni is nehéz azt, hogy ne lehessen akármilyen középponttal akármilyen nagy vagy kicsi sugarú kört rajzolni…

És… És egy posztulátum kilóg a sorból: „ha egy egyenes úgy metsz két másikat, hogy az egyoldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két másik egyenes találkozzon egymással, ha végtelenül meghosszabbítjuk őket, éspedig azon az oldalon, ahol a szögek összege kisebb két derékszögnél”.

Hosszú is, meg ha meg is érted a mondatot, nem annyira plasztikusan magától értődő a dolog. És ez sokakat zavart. Voltak, akik igyekeztek ezt a többi axiómából és posztulátumból levezetni, hátha ez nem alapigazság, hanem a többi alapigazságból levezethető következmény. Ez nem sikerült. Mások kiváltani igyekeztek ezt valamilyen magától értődőbb, de ekvivalens ezzel az állítással, vagy levezethető belőle ez az állítás. Ilyenek születtek, pl. „ egy egyeneshez egy külső ponton keresztül csak egy párhuzamos húzható”. Vagy „a távolság két párhuzamos egyenes között állandó”, vagy „egy háromszög belső szögeinek összege egyenesszög”, vagy „három nem egy vonalra eső pont egy körön fekszik”. De egyik sem annyira megkérdőjelezhetetlenül magától értődő volt, mint kellene.

Itt jött többek között Bolyai, akik azt mondták, hogy oké, ha nem vezethető le ez a posztulátum a többi axiómából, ha nem találunk ezzel ekvivalens, igencsak magától értődő másik posztulátumot, akkor próbáljuk meg az adott kijelentés ellentétét venni, és rámutatni, hogy úgy egy ellentmondásra jutunk. Mint kiderült nem, nem jutunk ellentmondásra. Ráadásul több olyan kijelentés is létezik, ami összeegyeztethetetlen az eredeti axiómával, vagy annak valamilyen más megfogalmazásával (egy vonalhoz egy ponton keresztül több párhuzamos is húzható vs. egy ponton keresztül egy párhuzamos sem húzható, vagy a háromszög szögeinek összege nagyobb vagy éppen kisebb 180˚-nál).

Miért töréspont ez a matematikában? Mert addig mindenki úgy kezelte a matematikát, mint a valóságot leíró, a valóságból absztrahált, önmagában is valós összefüggésrendszert. Most meg itt van 2–3 különböző matematika. Egyik sem rosszabb vagy jobb a másiknál. Viszont a 2–3 különböző geometriából csak egy lehet valós, közöttünk egymást kizáró a viszony. Nincs eszköz a matematikán belül, amivel eldönthető, hogy melyik geometria a „helyes” ha egyáltalán van értelme még ennek a szónak ezután. A fizikára, a fizikai valóság megfigyelésére kell bízni, hogy melyik az a geometria, ami a mi világunkat írja le.

De akkor kérdés, hogy a másik két geometria mit ír le. A valóságot? Nem. Bár… Bár lehet olyan valós jelenséget találni, aminek az absztrakciója talán ezen geometria mentén működik. (Az az extra poén, hogy mint kiderült, nem arra a geometriára tettük le elsőnek a voksunkat, ami valójában helyesen írja le a valóságot, a fizikai világ tere általában nem euklideszi.)

Itt derült ki igazán, hogy a matematika alapvetően nem valamiféle végső valóságot ír le, ami eleve ott van a világunkban. Igenis lehet alternatív valóságokat is leírni matematikával. Az más kérdés, hogy a matematika nem teljesen öncélú, igyekszünk a valós világ valamilyen absztrakcióját leírni matematikával, és ezen matematikában feltárni a belső összefüggéseket. Így aztán a mi matematikánk olyan, hogy mégiscsak a valós, a „valóság szövetébe ágyazott” összefüggésrendszert igyekszik feltárni. Kevesen próbálnak teljesen a valóságtól független, a valóságnak nem megfeleltethető matematikai alapokból kiindulva matematikát csinálni. Aki azt gondolja, hogy így tesz, az sem tesz feltétlenül így. Volt olyan matematikus, aki kimondottan büszke volt arra, hogy az, amit ő kutat, annak soha, semmiféle praktikus haszna nem lesz. Ez a matematikus többek között a kettes számrendszerbeli műveletek sajátosságával foglalkozott – ezen alapszik a mai számítástechnika –, illetve olyan számelméleti kérdésekkel, amikre meg a mai titkosítás épül.

A válasz tehát az, hogy igen, a matematika lehetne akár az emberi agy szüleménye, de alapvetően mégis a valóság szövetét igyekszik a matematikus – akár tudatosan, akár tudat alatt – feltárni.

Kezdetben számolás volt, nem matematika. Amikor a különféle számolások összefüggéseit kezdték elemezni, derült ki, hogy nem lehet akármit mondani, a gondolkodási szabályok kezdtek megjelenni számolások összefüggéseiben, minek mi a feltétele, következménye, alapja vagy oka, és a gondolkodás ereje akkora volt, hogy a bizonyos szabályokról összefüggésekről nem lehetett lemondani, akár tulajdonítottak a számoknak objektív létet, akár nem.

De már nekünk alapvető dolgokról is vita folyt, még a középkorban is, a legnagyobb matematikusok is gondolkodóba estek pl. a negatív számok értelmezésén, volt , aki azt állította, hogy a -1 az a végtelen...

Rengeteg olyan objektuma van a matematikának, aminek a valóságban a nyomát sem találjuk, negatív és komplex mennyiségek, Sajnos azt kell mondani, hogy a matematika az kitaláció. De akkor miért egyezik sok esetben mégis a valósággal, miért válnak be a számítások ? Azért, mert a matematikusok végtelen mennyiségben ömlesztik az összefüggéseket (a saját matematikai világukon belül), az lenne a csoda, ha nem találnának néhányat, amelyik analógiában áll valamelyik valóságos jelenséggel, a fizikában erre a tudatos keresésre rengeteg példa van, A matematika nyilván nem a "valóságot" kutatja, hiszen arra ott vannak a szaktudományok, amelyek egy-egy különleges jelenségre magyarázatot várnak, ha ezt a matematikától kapják meg, NA az nyilvánvaló tévút, mert egy matematikai összefüggés az nem szerepelhet fizikai okozóként. Vegyük pl. ma a hálózatelméletet vagy régebben a kibernetikát, amelynek összefüggéseit minden szaktudományra rá akarták húzni, pedig ezek csak magyarázatok, nem okok. Az okok a konkrét dolgok alakulása, a folyamatok menete, a dolgok fennállása, tehát nincs olyan, mint , amit a mai atomfizikus-csillagászok előszeretettel emlegetnek, hogy, ha ezmegez a "paraméter" érték egy kicsit is más volna, akkor a világunk nem létezhetne, hiszen itt csak utólag leszűrt tudásról, pontatlan értékekről, vagy akár valószínűségekről van szó. Abban biztosak lehetünk, hogy nem a Pi vagy az "e" vagy konstansok, tényezők eszméjétől vezéreltetve alakulnak a dolgok a természetben.