Valós számokra értelmezhető a prímfaktorizáció?

Tekintettel arra, hogy egész számok szorzata és hányadosa mindig racionális eredményt ad, ezért ezek nem alkalmasak irracionális számok leírására. Gondolom itt az első gondolatod az lenne, hogy akkor prímszámok törtkitevőjű hatványaiban gondolkozol, azzal viszont csak annyi a baj, hogy bizonyítottan nem áll elő minden irracionális szám "gyökös számok" szorzataként (lásd: transzcendens számok). Ahhoz, hogy ez mégis sikerüljön, a prímszámok definícióját kellene újragondolni.

Racionális számok "prímtényezős felbontása" ennek megfelelően egyértelműen felírható (a sorrendet leszámítva), kérdés, hogy van-e gyakorlati jelentősége.

#5: Lásd a 2-es választ: Minden egység, ezért nincsenek prímek.

Legyen p, q racionális szám, q nem egyenlő 0. Ekkor p = q * p/q. Ez teljesül bármely 0-tól különböző q racionális számra. Ezt úgy mondjuk, hogy minden 0-tól különböző elem egység, tehát minden osztható mindennel.

Először is nézzük, hogy vannak-e prímek:

A prím az, ha (1) p|a*b és (2) p nem osztója a állításokból következik, hogy p|b.

Ezzel az a baj, hogy mivel minden osztója mindennek, azért nem találunk olyan elempárt, ahol az egyik elem nem osztható egy másikkal. Ezért a prím tulajdonságot egy elem sem elégíti ki. Tehát nincsenek prím elemek, melyekre fel lehetne bontani.

Felbonthatatlanok meg azért nincsenek, mivel egységek nem lehetnek felbonthatatlanok.

Számelméletet gyűrűkben kell csinálni, nem testekben, mert az triviális.

De itt most nem ez volt a kérdés, hanem az, hogy minden (pozitív) racionális szám felírható-e egyértelműen 2^a * 3^b * 5^c * ... p(n)^k alakban. Mert erre a kérdésre az a válasz, hogy igen.

Vagy te máshogyan látod?

#7:

1 = 2 * 1/2 = 3 * 1/3 = 4 * 1/4 = 5 * 1/5 =...

#9. Biztos, hogy így van, és a bizonyítást te magad írtad le.

Tehát abban az alakban BIZTOSAN egyértelmű a felírás. Más alakban meg nyilván nem egyértelmű. Mint ahogyan a 36 is felírható úgy, hogy 4*9, mégsem veri senki a falat, amikor azt mondjuk, hogy csak prímszámokat felhasználva (a sorrendet leszámítva) egyféleképpen lehet szorzatként felírni a 36-ot, ami a 2^2*3^2.