Aleph-null! = c?

Egy megközelítés:

ℵ₀! = ∏{i=1→∞} (ℵ₀-i) = ∏{i=1→∞} (ℵ₀) = ℵ₀^ℵ₀

~ ~ ~

Egy másik megközelítésben:

2^ℵ₀ = 1 * 2 * 2 * 2 * 2 * …

ℵ₀! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * … = 1 * 2 * (2+1) * (2+2) * (2+3) * …

ℵ₀^ℵ₀ = 1 * ℵ₀ * ℵ₀ * ℵ₀ * ℵ₀ * … = 1 * (2+n) * (3+m) * (4+o) * …

Így:

2^ℵ₀ ≤ ℵ₀! ≤ ℵ₀^ℵ₀

~ ~ ~

Nézzük meg ezt a ℵ₀^ℵ₀ kifejezést:

Mivel ℵ₀ ≤ 2^ℵ₀, ezért

ℵ₀^ℵ₀ ≤ (2^ℵ₀)^ℵ₀ = 2^(ℵ₀*ℵ₀)

Mivel ℵ₀*ℵ₀ = ℵ₀, ezért:

ℵ₀^ℵ₀ ≤ 2^(ℵ₀*ℵ₀) = 2^ℵ₀

Másrészt:

ℵ₀^ℵ₀ = (ℵ₀-2+2)^ℵ₀ = (ℵ₀-2)^ℵ₀ * 2^ℵ₀ ≥ 2^ℵ₀

A kettőből (ℵ₀^ℵ₀ ≤ 2^ℵ₀ és ℵ₀^ℵ₀ ≥ 2^ℵ₀):

ℵ₀^ℵ₀ = 2^ℵ₀

~ ~ ~

Így az első megközelítésből:

ℵ₀! = ℵ₀^ℵ₀ = 2^ℵ₀

A második megközelítésből:

2^ℵ₀ ≤ ℵ₀! ≤ ℵ₀^ℵ₀

2^ℵ₀ ≤ ℵ₀! ≤ 2^ℵ₀

ℵ₀! = 2^ℵ₀

Még egy fél megközelítés:

Egy n elemű halmaz összes permutációjának száma n! lesz. Minden első elemre (n-1)! sorrend létezik a további elemekre.

Vegyük a természetes számok halmazát. Minden n számhoz rendeljük hozzá azt a permutációt, aminek az első eleme n, és amiben a további számok növekvő sorrendben vannak:

1 → 1, 2, 3, 4, 5, …

2 → 2, 1, 3, 4, 5, …

3 → 3, 1, 2, 4, 5, …

4 → 4, 1, 2, 3, 5, …

5 → 5, 1, 2, 3, 4, …

Így minden természetes számhoz rendeltünk pontosan egy permutációt, viszont végtelen számú olyan permutáció marad, ami nincs egyetlen természetes számhoz sem hozzárendelve. (Pl. az 1, 3, 2, 4, 5, 6 permutáció nincs egyik természetes számhoz sem rendelve. Így bizonyos, hogy:

ℵ₀ < ℵ₀!