Hogyan lehet megoldani a valós számhármasok halmazán a következő egyenletrendszert?

az első egyenletből kifejezed az y-t és beírod a másodikba.

abból kifejezed z-t és beírod a harmadikba.

kapsz egy sokadik hatványos egyentet x-re.

azt megoldod.

visszaszámolod a z-t és az y-t.

mondjuk a valós megoldásról jó eséllyel lemonhatsz, mert a másodfokúnál masgasabb megoldóképletek már nem működnek komplex számok nélkül.

egyébként meg:

[link]

Egy kis alakítgatással:

(x + 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2 = 0

Mindegyik tag 0 vagy pozitív lehet, és ha az összegük 0, ...

#3:

egyrészt természetesen van. pontosan ugyan azon az elven, ahogy a másod, a harmad és a negyed fokú megoldóképlet készül, akárhányad fokú megoldóképet elkészíthető. némi bogarászással valószínűleg megtalálhatóak a neten. a negyedfokú még a wikin is fent van. de egyébként csak lelkesedés és odafigyelés kérdése.

hogy mennyire praktikus, az más kérdés.

másrészt a próbálhatás az nem megoldás.

[ma 12:19]: Megoldóképlet alatt jellemzően azt értjük, hogy alapműveletekkel és gyökös kifejezésekkel az együtthatókból előállítható a megoldások halmaza. Mint a másodfokú

ax^2+bx+c=0

egyenletnél, a megoldóképlet

(-b +/- gyök(b^2-4ac))/2a,

ha ebbe beírod az együtthatókat, és gépiesen kiszámolod, akkor megkapod a megoldásokat. (Az elsőfokú ax+b=0 egyenlet esetében a megoldóképlet -b/a.)

"egyrészt természetesen van"

- Talán ez az intuíciód, de ez nem így van. Harmad- és negyedfokú megoldóképlet még valóban létezik (noha ezek során már köbgyököt is kell vonni, nem elegendő a négyzetgyök), de már ötödfokú sincsen. Pontosabban fogalmazva: nem létezik olyan alapműveletekből és gyökvonásokból formula, melybe ha beírjuk az

ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0

egyenlet együtthatóit, akkor kidobná nekünk a megoldások halmazát. Sőt, ha veszed azt a konkrét egyenletet, hogy

x^5-4x+2=0,

akkor ennek három valós, és további két nem valós (komplex) megoldása van, de ezek egyikét sem lehet racionális számokkal, illetve azokon végzett alapműveletekkel és gyökvonásokkal leírni. Másképpen fogalmazva: be tudom bizonyítani, hogy akárhogyan írsz fel racionális számokkal, alapműveletekkel és gyökjelekkel egy számot, az nem lesz megoldása ennek az egyenletnek (például x=köbgyök(-2+köbgyök(4))/ötöddikgyök(33)+18-gyök(2) nem megoldása az egyenletnek, és semmi más ilyen sem).

Egy történetileg érdekes és mély (mára teljesen megértett) kérdése az algebrának, hogy miért éppen negyedfokúnál működik utoljára a dolog. A másodfokú egyenletet már az ókorban is meg tudták oldani (mondjuk másképp, mint amit mi értünk ezalatt), és már a VII. században ismerték a megoldóképletet is. Ezek után a XVI. századig kellett várni az általad is említett harmad- és negyedfokú egyenlet megoldóképletére (ezek gyakorlatilag egyszerre születtek meg, a negyedfokút egy nem túl nehéz számolási trükkel vissza lehet vezetni a harmadfokúra). Újabb bő kétszáz év, és hiába bogarászták, nem sikerült megoldani az ötödfokút, majd meglepő módon az derült ki, hogy arra nem is létezik megoldóképlet. Ez az Abel-Ruffini tétel. Magasabb fokszámnál sincs.

"másrészt a próbálhatás az nem megoldás."

- Az nem próbálgatás, hogy összeadunk három egyenletet, és észrevesszük, hogy három teljes négyzet összege 0, következésképpen a valósak között minden tagnak 0-nak kell lennie (nem akartam lelőni a poént, de [ma 11:36] leírta). Logikai értelemben ez pont annyira érvényes megoldás, mint beírni egy megoldóképletbe. Igen, van benne egy "vegyük észre, hogy" dolog, de az a matematikának természetes velejárója.

Nemigen.

Ebben a matekban nem.

De létrehozható olyan rendszer, ahol igen (Pl. válaszként a Gummibandeffektre, lásd. gluonok.).

De még mindig nem tudom, mit takar valójában az egyenletrendszer?

(pedig kértem...)