Hányszor sűrűbb a közepe, mint átlagban?

Először kellene definiálni a „sűrűség” fogalmát.

Ugyanez egyébként kicsiben is működik; nézd meg, hogy két dobókockával milyen összegeket lehet dobni.

A szó szoros értelmében nyilván nem normális eloszlás, hiszen a te kérdésed egy véges értelmezési tartományú diszkrét eloszlás, a normális eloszlás pedig egy végtelen értelmezési tartományú folytonos. Persze ettől még egész jó közelítése lehet 4 uniform eloszlású változó összegének is, de teljesen jogos a kérdésed, hogy akkor mi a szórása, pontosabban a 4*9000-től 4*11000-ig tartó értelmezési tartományod megfelelője.

Úgyhogy nem is a normális eloszlással érdemes közelíteni, hanem az n=4 paraméterű Irwin-Hall eloszlással, ami az n folytonos uniform valváltozó összegét leíró eloszlás. A sűrűségfüggvénye 0-tól 4-ig fut (azon kívül fix 0) és téged az érdekel, hogy a csúcsán, tehát x=2-nél hányszorosa az átlagnak (amely értelemszerűen 1/4, hiszen a sfv integrálja definíció szerint 1). A Wikipedián a grafikonja pont ott van n=4-re, 0.65 körüli a sfv csúcsa, tehát kb 2.6x magasabb, mint az átlag.

Első körben kezdjük ott, hogy az eredmény nem változik, hogyha ugyanezt a feladatot a [0;2000] intervallumon nézzük a [0;8000] intervallumra vetítve.

Ha a számok kiválasztásának sorrendjével is számolunk, akkor könnyedén össze tudjuk számolni, hogy egy szám hányféleképpen állhat össze; írjunk le annyi pontot, amennyi a vizsgált szám értéke. Ezután a pontok közé tehetünk 3 elválasztóvonalat, ezzel a pontokat négy részre osztottuk. A vonalak közé eső pontok száma az összeadandó számokat jelölik. Ha két elválasztóvonal egymás mellé kerül, vagy az elejére illetve a végére, akkor a 0 is bekerül az összegbe.

A pontok-vonalak sorrendje minden esetben pontosan egy összeadást jelöl, és akárhogyan kiválasztva egy összeget az reprezentálható pontosan egy jelsorral, tehát kettejük között kölcsönös egyértelműség áll fenn, ami azt jelenti, hogy ha az egyiket meg tudjuk számolni, akkor a másik is megszámlálásra kerül.

Innen már nem nehéz kitalálni, hogy a k szám (k+3)!/(3!*k!)=(k+3)*(k+2)*(k+1)/6-féleképpen írható fel.

Ha nem teszünk különbséget a sorrendekben és több számot is kiválaszthatunk, akkor már nem ennyire egyszerű a helyzet. Nem tudom, hogy esetszétválasztás nélkül hogy lehet ebben az esetben számolni, de megkockáztatom, hogy mindenképp kell esetszétválasztás.

Ami viszont rejtély számomra, hogy a (2004 alatt a 4) miből jött ki neked.