Létezik szortás és összeadás kicsi halmazokon?

Minden csupán attól függ, hogy hogyan definiálod az adott műveletet.

A hagyományos összeadás és szorzás véges halmazból triviálisan kivezet, de például modulo összeadás értelmezhető véges halmazon is (lásd például ha 11 órakor mondom, hogy 2 óra múlva az 1 órát jelent).

Nem tudom hol olvastál konkrétan mit, de ahol a halmaz {0,1} ez a logikai műveleteknél szokás. Ahol a 0 megfelel a logikai hamisnak, az 1 pedig az igaznak. Ezen értelmezettek a logikai műveletek ez az úgynevezett Boole-algebra.

A logikai és-t azt máshogy logikai szorzásnak is nevezik.

Ha megnézed a művelettábláját akkor pont kijön amit szorzásnál megszoktál.

A logikai vagy-ot máshogy logikai összeadásnak is nevezik. Ez is stimmel kivéve hogy ebben 1+1=1, mivel nem tud több lenni. Viszont általában nem + jellel szokás jelölni hanem ˅ jellel. A logikai és-t pedig ˄ jellel szokás jelölni.

Itt lehet bénán jelenik meg, de itt jól : [link]

Illetve && és || jelekkel is szokták egyes programozási nyelvekbe vagy and or kulcsszavakkal.

Az hogy ezek egész számok vagy logikai értékek vagy máshogy mondva egész típusú értékek vagy logikai típusúak az attól függ mennyire tipizálunk.

Olyan algebria is lehet (sőt számítógépes megvalósításai is vannak) hogy külön vannak logikai típusú értékek True False formájában, de sima összeadás és szorzás esetében számként visselkedik, logikai szorzás meg logikai összeadás művelettel logikaiként visselkedik, sőt a számok is, minden számnak van egy logikai képe, a 0-nak hamis minden másnak az igaz.

Továbbá meg gyakorlatilag minden számítógépen hardverből olyan egész aritmetikák vannak benne melyek véges eleműek. Jellemzően 8, 16, 32, 64 bitesek. Az összeadás meg szorzás műveletek zártak ezen véges halmazokra. Természetesen van hasonlóság, de más tulajdonságai vannak mint a végtelen halmazokon értelmezett összeadásnak , szorzásnak. Például létezik olyan x és y melyre nem igaz, hogy ha x>y akkor x+10 > y+10. Sőt x+1>x se minden x-re igaz.

Aztán ott van az IEE-754-es szabvány amit szintén a számítógépek hardverből tolnak. Ez a valós számok véges részhalmazát tartalmazza, pontosabban részhalmazait, mert több fajta pontossággal és tartománnyal is vannak. Ezek a lebegőpontos számok, ahol két szám között csak véges sok szám van, de úgy is tekinthetjük hogy végtelen van ott is csak végtelen sok szám képe ugyanaz és az aritmetika nem tesz különbséget közöttük. Ebben is vannak furcsaságok a valós számok szokásos struktúrájához képest.

Én annyira nem értek halmazelmélethez, de leírom amit tudok, majd kijavítja aki jobban tudja.

Az hogy milyen művelet van egy halmazon az nem attól függ, hogy milyen az elemszáma. Attól függ, hogy milyen struktúrát alkot. Az összeadáshoz és szorzáshoz testet kell alkotnia a halmaznak. Ekkor értelmezünk +,* műveleteket és felírhatunk test axiómákat.

Pl.: összeadásra

1) zártság: bármely x,y elemekre H halmazból teljesül, hogy x+y is eleme

2)kommutativitás: -||-, hogy x+y=y+x

3)asszocitiváts: -||-, hogy (x+y)+z=x+(y+z)

4) additív neutrális elem: létezik H halmazban egy 0 elem úgy, hogy bármely x elemre x+0=X

5)inverz elem: bármely x elemhez létezik egy -x elem úgy, hogy x+(-x)=0

A valós számok halamzán ezen felül van rendezési axióma is, amihez reláció művelet (>,<) kell. Ez a komplex számoknál nem megy, nem sorbarendezhetőek.

Remélem segítettem valamit!

Először értelmezzünk a félreértések elkerülésére.

Szortás jelentése nem értelmezhető, elírás lehet.

Szórás van ugyan, de nem szokás halmazelemeken végzett műveletként értelmezni. Vagy azt mondjuk, a kérdés értelmezhetetlen, vagy azt, mindkét szó valójában szorzás mint művelet.

Kicsi halmaz nincs, ilyen elnevezést nem használunk. A teljes szöveg értelmezéséből az következnék, hogy ez véges halmaz.

Tehát a kérdés így szólhat: Értelmezhető-e szorzás és összeadás művelete véges halmazokon?

Ehhez a műveleteket kell definiálni. Vehetjük a Boole algebrát alapul, de ez most messzire vezetne (fogalmam sincs, mi a fenének pontozták le azt a választ - egy magyarázatom lehet: bosszúból azok, akik egy szót se értettek belőle), és a kérdés jellege alapján valószínűtlen.

Az összeadás és szorzás klasszikus fogalmát használva, a következőt mondhatjuk véges halmazokra. Vegyük a véges halmaz összes elemét és adjuk össze. Ekkor két eset van. Vagy új elemet kaptunk, ami nem lehetséges, mert az előbb az összeset vettük. Tehát ezen a véges halmazon nem igaz, hogy értelmezhető az összeadás.

Lehetséges, hogy visszakaptuk egyik elemünket. Ez úgy lehetséges, ha ebben a halmazban léteznek összeadásra inverz elemek. De mivel minden módon összeadhatunk, ezért minden elemnek kell létezzen inverze a halmazban. Például a {-2,-1,0,1,2} ötelemű halmazra érvényes az összeadás.

Minthogy a szorzás definíció szerint több összeadás, ezért a szorzás sem vezet ki ebből a halmazból.

Tehát igen, léteznek véges elemű halmazok, amelyekből e két művelet nem vezet ki. Sőt, végtelen sok ilyen véges elemszámú halmaz létezik. Például minden olyan véges halmaz jó, amelyben szerepel az összes, tetszőleges véges N értéknél kisebb abszolút értékű pozitív és negatív szám, valamint a nulla.

A megfontolás sajnálatos módon rendkívül rosszra sikeredett. Tehát újra nekifutva.

A {-1,0,1} három elemű halmazra a zártság, tehát hogy a műveletek nem vezetnek ki a halmazból, teljesül. Ez egy elég "kicsi" halmaz. Hasonlóan jó az összeadásra nézve a {-n,0,n} három elemű halmaz, ahol n tetszőleges szám. Ez azonban a szorzásra már kivezet.

Minden más véges halmazra, amelyben van legalább két pozitív szám, már az összeadás is kivezet a halmazból, ugyanis ha a halmaz maximális értékű eleméhez hozzáadjuk a halmaz eg pozitív elemét, az nagyobb lesz a maximálisnál, ami abszurd, hiszen a legnagyobbat vettük.