Testbővítések fokszámtételét valaki elmagyarázná?

Hogyhogy mire jó? A testek egymásban való tartalmazása átfordítható az egész számok oszthatóságára.

Pl ha [M:K]=p egy prímszám, akkor nincsen közbülső test, akárhogyan veszed hozzá M egy m elemét K-hoz, ez vagy K-lesz, vagy M-et fogja generálni.

Például egyből látszik, hogy nincsen test R és C között.

Itt van egy bizonyítás angolul: [link]

Ugye az [L:K] kifejezés azt jelenti, hogy L egy [L:K] dimenziós vektortét K felett.

Azt kell belátnod, hogy M egy [M:L]⋅[L:K] dimenziós vektortér K felett.

Legyen {u1, ..., ud} L egy K feletti bázisa (vektortér értelemben), és {w1, ..., we} az M vektortér L feletti bázisa.

Az állítás az, hogy a két bázis páronkénti szorzatai, vagyis az e*d=[M:L]⋅[L:K] darab u_i*w_j alakú M-beli szám éppen egy bázis, azaz [M:L]⋅[L:K] dimenziós M vektortér a K test felett.

Ezek mindent generálnak:

m = sum l_i w_i = sum sum (k_ij u_j) w_i = sum sum k_ij (u_j w_i)

ahol m az M-beli, l_i egyhók L beliek, k_ij pedig K beli. (Átbetűztem a wikipédiát, talán kövesd azt, ha tudod.)

Ami éppen azt jelenti, hogy generátorrendszer.

Ezek lineárisan függetlenek K felett:

0 = sum sum k_ij (u_j w_i) = sum sum (k_ij u_j) w_i.

Mivel {w_i} bázis L felett M-ben, így minden i-re

0 = sum (k_ij u_j).

Mivel {u_j} bázis K felett L-ben, így minden k_ij-re:

0 = k_ij

Ami éppen azt jelenti, hogy lineárisan függetlenek.