Mi pontosan az integrál? -Ha már az egy területszámítás, akkor miért a derivált fordítottja?

Akkor mondok egy egyszerűbbet (de a derivált fogalmát ismerned kell hozzá):

Tulajdonképpen azt kell bebizonyítanunk, hogy:

(Integrál f(x)dx [a-tól x-ig])' = f(x)

(A ' a derivált jele)

(Integrál f(x)dx [a-tól x-ig])' = (Integrál f(x)dx [a-tól x+dx-ig])-(Integrál f(x)dx [a-tól x-ig]))/dx (dx->0)

Ha felrajzolod, ez tulajdonképpen az utolsó kis trapéz alatti terület, osztva dx-szel, azaz:

(dx*(f(x+dx)+f(x))/2)/dx = (f(x+dx)+f(x))/2, ami nem más, mint f(x), hiszen dx ->0

Vagyis (Integrál f(x)dx )' = f(x)

Nagyon leegyszerűsítve, de lényegretörően:

Képzeld el, adnak neked egy f: x->f(x) függvényt az xy-derékszögű koordináta rendszerben(ami bizonyos feltételeknek eleget tesz, ebbe most ne menjünk bele...), ami egy picit bonyolultabb, mint az egyenes. Parabóla, hatványfüggvény, sinusz, logaritmus, stb.

Azt mondják, határozd meg az f fv. görbéje alatti területet valamilyen x€[a,b] intervallumon. Tehát arról a területről van szó, amelyet az x-tengely, az f fv. görbéje, ill. az x=a,x=b abszcisszájú pontokon átmenő y-tengellyel párhuzamos egyenesek zárnak be.

Az ötlet a következő: Legyen a<b, az [a,b] intervallumot felosztjuk delta_x kellően kicsiny szélességű szakaszokra, így a keresett területet oszlopszerű sávokra bontjuk(kb.mint egy oszlopdiagram). Azaz a keresett terület igen keskeny szélességű, és az f fv. görbéje szerinti magas téglatestek összegeként becsülhető.

pl. valamely x1€[a,b] és x2€[a,b] (x1<x2, x2-x1=delta_x) belső pontok közötti kis tartomány fölötti terület becsülhető két téglalappal is, alúlról és felűlről, aszerint, hogy a fv. monoton növő vagy fogyó:

T1=(x2-x1)*f(x1), T2=(x2-x1)*f(x2).

Ill.: T1=delta_x*f(x1), T2=delta_x*f(x2).

Ezt minden kis delta_x szélességű oszlopra meg kell csinálni, és felösszegezni, úgy hogy delta_x értékét minden határon túl finomítjuk, azaz differenciálisan kicsinnyé tesszük.

Plusz kell még a csendőr-elv, mert a felső és alsó becslés egyenlősége garantálja a terület véges konvergens értékét. Ebből jönnek ki az f(x)*dx-ek.

És a lényeg ebben van.

Integrálásnál az f(x) dx-el szorzódik.

Deriválásnál ez pont fordítva van, ott dx-el osztunk, ebből jönnek a df/dx -ek.

Nem akartam hosszasan részletezni, a végét így bekanyarítottam, a lényeg érthető:

Integrálásnál szorzás van dx-el, deriválásnál osztás.

Ezért szokás mondani, h. a deriválás és integrálás egymás fordítottja.

Két nagyon fontos megjegyzés van még hátra, amit soha nem szabad elfeledni:

I. A derivált az egy jól meghatározott egyértelmű mennyiség. Az integrálás lehet határozott vagy határozatlan. A határozatlan integrál egy konstans erejéig határozatlan. Határozott integrálhoz úgy jutunk, ha a határozatlan integrálhoz integrációs határokat csatolunk. Differenciálegyenletek esetében ez az ú.n. mellékfeltételek (kezdeti, ill. perem) előírását jelentik.

II. A deriválás viszonylag egyszerű, képlettel megadható függvények deriváltjai általában képlettel megadhatók. Az integrálás sokkal nehezebb, amely különösen a differenciálegyenletek megoldási nehézségeiben mutatkozik meg. A gyakorlatban sokszor numerikus módszereket kell használni.

Még egyszerűbben:

Az integrál ugye alapvetően egy összeg, végtelen kis területek összege. Ezek a területösszegek is egy függvényt adnak (ez a primitív függvény, az f(x) függvény integrálja).

A derivált az meg különbség, két végtelen közeli függvényérték különbsége (osztva a dx-szel).

Ha a különbségképzést az összegfüggvényre (vagyis a a függvény integráljára) alkalmazod, akkor logikus, hogy az eredeti függvényt kell visszakapnod.