Nulla faktoriális miért nulla, és miért nem egy?

Ez nem megállapodás kérdése, hanem számítások alapján jön ki.

Az egyik megközelítés például az, hogy hányféleképpen lehet 1 piros golyót sorba rendezni? Erre nyilván a megoldás 1!=1. Most azt kérdezem, hogy hányféleképpen lehet sorba rendezni 1 piros és 0 kék golyót? Erre a válasz a faktoriális definíciója szerint 1!*0!, de a feladat gyökeresen nem változott meg azzal, hogy bevettük a 0 kéket, tehát még mindig 1 lesz a megoldás, tehát

1!*0!=1, ebből az következik, hogy 0!=1.

A "tudományosabb" nézőpont az, hogy ismerjük a következő azonosságot:

(n+1)*n! = (n+1)!

Igen ám, de mi van olyankor, hogyha n=0? Ekkor 1*0!=1!, ebből megint csak az jön ki, hogy 0!=1.

Egy harmadik nézőpont, a binomiális tétel:

(a+b)^n = (n alatt a n)*a^n + (n alatt az n-1)*a^(n-1)*b + ... (n alatt a 0)*b^n

A tétel bizonyítása úgy megy, hogy (a+b)^n=(a+b)*(a+b)*...*(a+b), ahol n darab tényező van. Azt tudjuk, hogy kibontás után minden tag felírható a^k*b^(n-k) alakban, ahol 0<=k<=n. Már csak az a kérdés, hogy hány ilyen tag lesz az összegben, erre a válasz az, hogy pont annyi, ahányféleképpen az n darab zárójelből ki tudunk választani k darab a-t, ez pontosan (n alatt a k)-féleképpen működhet. Igen ám, de mi van akkor, hogyha k=0? Ugyanis akkor az a-ból 0 darabot választunk ki, vagyis b^n lesz a kiválasztottak szorzata, viszont ebből (n alatt a 0) van összesen, de egyébként azt tudjuk, hogy 1 darab, tehát:

(n alatt a 0) = 1

Definíció szerint (n alatt a 0)=n!/(0!*n!), tehát:

n!/(0!*n!) = 1, egyszerűsítünk n!-sal:

1/0! = 1, ebből pedig 0!=1 adódik.

Ez csak 3 nézőpont, amely indokolja azt, hogy a 0! értéke 1 legyen. Kell még?

___

Azt szokták még mondani, hogy az a^0=1 is megegyezés kérdése. Egy frászt... Ez abból adódik, hogy ismerjük az azonosságot:

a^n/a^k = a^(n-k)

Felvetődik a kérdés, hogy mi van akkor, hogyha n=k. Ekkor ezt kapjuk:

a^n/a^n = a^0

A bal oldal értéke nyilván 1 (persze ha a=/=0), tehát:

1 = a^0.

Nincs itt semmiféle közmegegyezés, az eredmény logikai úton jön ki.

4!=1*2*3*4 = 24

3! = 4!/4 = 6

2! = 3!/3 = 2

1! = 2!/2 = 1

0! = 1!/1 = 1 vagyis n! = (n+1)! / (n+1)