Hogyan lehet kiszámolni egy háromszög oldalait, ha adott a három súlyvonala?

A második válaszoló arra gondolt, hogy a súlyvonal általában egy egyenes szokott jelenteni (nem szakaszt).. így mivel végtelen hosszú, akármennyi egymástól csak(!) méretben különböző hasonló háromszög tartozhat hozzá.

Egyébként ha wikin megnézed a súlyvonal cikket ott találsz egy képletet a súlyvonal háromszögön belüli hosszára... ha mindhárom súlyvonalra felírod, akkor van 3 egyenleted a 3 ismeretlenhez, abból ki lehet számolni.

De Pitagorasz-tétellel is próbálkozhatsz, azzal is ki kell jönnie...

A válasz többlépéses.

1. A súlyvonal meghatározása: a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz.

2. Segédtétel: a háromszög súlyvonalai egy pontban, a súlypontban találkoznak. A súlypont úgy harmadolja a súlyvonalat, hogy abból 2 rész esik a csúcs felé és 1 rész az oldalfelző pont felé.

3. Segédtétel: a cosinus tétel

c^2=a^2+b^2-2ab*cos(gamma) ,ahol a,b és c a háromszög oldalai, gamma pedig a c-vel szemközti szög.

4. A cos tétel folyománya: hogyan számoljuk a háromszög szögét az oldalakból?

cos(gamma)=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

5. Segédfeladat: Hogyan számoljuk a súlyvonalat a háromszög oldalaiból?

A 4. pont szerint az oldalakból a szögek is ismertek. Ezután szemléljük azt a háromszöget, amelynek oldalai a/2,b és sa (sa az a oldalhoz húzott súlyvonal. ) Az sa-val szemközti szög a gamma, tehát:

sa^2=(a/2)^2+b^2-2*(a/2)*b*cos(gamma)

és csak most jöhet a feladat megoldása:

6. Az ABC háromszög súlypontja az S, az AB oldalfelezője a C" és a C csúcsnak a C"-re való középpontos tükörképe a C', az S súlypont tükörképe pedig az S'. Figyeljük meg, hogy az ASS' háromszög oldalai pontosan a súlyvonalak 2/3 részei és ennek a háromszögnek az AC" szakasz az egyik súlyvonala lesz. Másrészt viszont ez az AC" az AB oldal fele. Ha tehát kiszámoltuk AC"-t, akkor ennek a kétszerese adja AB-t vagyis a kívánt háromszög egyik oldalát.