Lehet az egyik végtelen nagyobb, mint a másik?

#10: Ha a megfeleltetős okoskodás úgy működne, ahogy írod, akkor azt is be lehetne látni, hogy [1,2]-ben a szavaiddal élve "pontosan kétszer annyi elem van" mint [2,4]-ben:

pl. a [2,4]-beliek osztva néggyel + 0.5 megfeleltethető [1, 1.5]-nek, majd ugyancsak [2,4]-beliek osztva néggyel + 1 megfeleltethető [1.5, 2]-nek. Azaz [2,4] összes elemét kétszer is rá tudtad illeszteni [1,2]-re.

De ugyanezt el lehetne játszani akárhány másféle módon: az egyikben háromszor annyi, ötször annyi, tized annyi, század annyi elem van... A számosság fogalmának pont az a lényege, hogy az efféle hülyéskedések elejét veszi. Ha két halmaz egyenlő számosságú, akkor bármilyen "szemfényvesztő" megfeleltetést is hoz létre közöttük az ember, egyikben sem lesz se több, se kevesebb elem, mint a másikban, és a "pontosan kétszer annyi elem" kifejezéseknek értelmüket vesztik.

#11! És bizony [2,4]-ben tényleg kétszer annyi (racionális, vagy pl. irracionális) elem van, mint [1,2]-ben. Elsiklottál azon észrevétel felett, hogy ugyanakkor mindkettő számossága azonos. Most mondom, megszámlálható a racionálisok, és nem megszámlálható az irracionálisok esetén.

Egy triviális példa: [1,100] között kettőször annyi egész van, mint [1,50] között. És mindkettő halmaz számossága: véges.

És attól, hogy neked nem tetszik, az elemi halmazelmélettel foglalkozó tankönyvek (és komoly folyóiratok) is gyakran élnek az összehasonlítás módszerével. Igaz, van egy fontos kritérium: érteni kell hozzá.

#14, az, hogy "véges" meg "végtelen", az nem számosság, az csak tulajdonsága számosságoknak. Egy 50 elemű halmaz számossága 50, egy 100 eleműé pedig 100. Ezek véges számosságok. Van sok más véges számosság is. N-é megszámlálható végtelen, R-é kontinuum. Ezek végtelen számosságok. Van sok más végtelen számosság is.

Mikor szakmai folyóiratokra mutogatsz, miközben látszik, mennyire nem értesz egy mukkot se, olyan benyomást keltesz, mintha a játszótéren üvöltöznél, hogy apukád ügyvéd és elperli a dömperemet.