Hogy jött ki ez a teljes indukciós bizonyítás?

Ezek alavető lépések, így ha matematikával szeretnél foglalkozni a későbbiekben, ezeket csuklóból kell tudnod.

Nézzük lépésenként:

1. 10^(k+1)=10^1*10^k=10*10^k, itt a hatványozás I. azonosságát használtuk; azonos alapú hatványok szorzása esetén az alapot a kitevők összegére emeljük, képlettel: a^m*a^n=a^(m+n), értelemszerűen ez fordítva is működik (és ezt használtuk most).

2. 18*(k+1)=18*k+18*1=18k+18, a zárójelbontást úgy végezzük, hogy a zárójel minden tagját (előjelesen) megszorozzuk 18-cal.

Ezután a kapottakat úgy csoportosította, hogy az indukciós feltevésben szereplő kifejezés megszülessen; ha az összeg tagjai oszthatóak 27-tel, akkor az egész is osztható 27-tel, tehát elég tagonként belátni. Az első tag az indukciós feltétel miatt osztható. A második tagból kiemelt 9-et (ami a zárójelbontás fordítottja). A zárójeles részről elég belátni, hogy osztható 3-mal, mivel ha osztható, akkor felírható 3t alakban (t egész), így 9*3t=27t, így osztható lesz 27-tel.

Ha valami még így sem világos, kérdezz!

Akkor nézzük a zárójelbontás utáni résztől:

10*10^k+18k+18-1

Vonjuk össze, ahogy szoktuk:

10*10^k+18k+17

Innen eléggé körülményes lenne továbblépni (például az összeg tagjainak 27-es maradékjairól kellene belátni, hogy azok összege 27, ami azért eléggé hosszadalmas), viszont az indukciós bizonyításokban az a jó, hogy ismerünk bizonyos feltételeket; esetünkben az, hogy 27|10^k+18k-1, ezt szedjük ki a fenti összegből; 10*10^k-ból kiveszünk 10^k-t, ekkor marad 9*10^k (ahogy 10-ből ha elveszünk 1-et, akkor 9x marad), a 18k-ból minden kell, a 17-ből -1, így 18 lesz belőle.

Ekkor az utolsó előtti sort kapjuk, majd az előző hozzászólásom miatt elhagyjuk a kreálmányt, így marad 9*10^k+18, innen kiemelünk 9-et; azt kell megnézni, hogy mi az, amit ha 9-cel megszorzunk, akkor ezt kapjuk, a válasz: 10^k+2, tehát a kiemelés így néz ki: 9*(10^k+2) (ha kibontod a zárójelet, visszakapod az eredetit).