X. Gyök alatt (X) < Y. gyökalatt (Y), ha X>Y?

Vizsgáljuk először két szomszédos egész számra x és y tekintetében:

[n+1].gyök(n+1) < [n+1].gyök(n) :ez a gyökfüggvény monotonitása miatt van: kisebb számnak kisebb a gyöke.

[n+1].gyök(n) < n.gyök(n) ez is könnyen belátható, például az egyenlőtleség mindkét oldalát n+1-dik hatványra emelem ( ami szintén monoton, ezért a reláció a hatványra is igaz lesz) és azt kapom, hogy n < n * n.gyök(n)

Ami szintén igaz, mert n.gyök(n) egynél nagyobb szám ( n>1 esetén), hiszen ha kisebb lenne, akkor n-dik hatványra emelve is egynél kisebb számot kapnánk ( hiszen 1-nél kisebb számokat szorzunk össze sokszor), tehát n.gyök(n) csak akkor lehet kisebb, mint 1, ha n<1.

( Néhol még hallgatólagosan kihasználtam, hogy n 1-nél nagyobb egész szám és ezt nem mindenhol tüntettem fel. Például az "n-dik hatványra emelés" n<1 esetén megfordítja a kacsacsőrt, stb...)

Beláttuk tehát, hogy [n+1].gyök(n+1) < n.gyök(n).

Adott X és Y egész számokra, ahol X>Y ez könnyen általánosítható, hiszen csak addig kell alkalmazni a képletet, amíg el nem érünk y-től x-ig. ( Minden nagyobb gyök alatt nagyobb szám kisebb az előzőnél.)

Általánosan nem lehet bizonyítani, mert nem igaz.

"e"-nél (2.718...) maximuma van.

[link]

Pl.: x=2.5 ; y=2

1.4426999 > 1.41421356 ; tehát fordítva van.

Ha x,y > e akkor igaz, a derivált < 0 tehát monoton csökken.

[link]

#1 vagyok.

valóban igazad van, elírtam egy relációt és éppen ezért bukik az egész gondolatmenetem és nem igaz a végeredményem. De néhány dolgot azért megjegyeznék:

1: "kisebb számnak kisebb a gyöke:" Ezt írtam, vagyis írásban nem rontottam el, csak a képletben.

2: Ha a<b és b<c, abból egyértelműen következik, hogy a<c.