Ezt ki lehet számolni? (kombinatorika)

Neked a geometriai eloszlásfüggvényre van itt szükséged, ami azt mutatja meg, hogy hány próbálkozás után várható az első siker, ha a siker valószínűsége minden egyes próbálkozásnál p.

A geometriai eloszlásfüggvény képlete:

Geo(p) = p*(1-p)^(n-1)

Tehát ha pl. arra vagy kíváncsi, hogy egy dobókockával hány gurítás után dobsz először hatost, akkor a Geo(1/6) eloszlásfüggvényt nézed meg, ami:

1/6*(5/6)^(n-1), azaz:

n = 1 esetén 1/6 azaz 16.666% hogy elsőre összejön

n = 2 esetén 1/6*5/6 azaz 13.888% hogy pont másodikra

n = 3 esetén 1/6*(5/6)^2 azaz 11.57% hogy pont harmadikra

n = 20 esetén ... 0.521% hogy pont huszadikra, stb.

A te feladatod 32 ilyen részfeladatból áll, amelyek egyre nehezednek. Az első lap sima ügy, tuti siker (Geo(32/32)), a második Geo(31/32), a harmadik Geo(30/32), stb., végül az utolsó lap elég nehéz: Geo(1/32)

A geometriai eloszlásfüggvény várható értéke (nem túl meglepő módon) 1/p. Tehát egy dobókockával átlagosan hatszor kell dobnod, mire hatost kapsz.

A te feladatod várható értéke így:

32/32 + 32/31 + 32/30 + ... 32/2 + 32/1 = 129.9.

Azaz átlagosan 130 paklira van szükséged.

A szórása is érdekes a dolognak, de azt már nem vezetem végig, hanem belinkelem ennek a matematikai problémának a Wikipedia oldalát (aminek így a végére a nevét is elárulom: Coupon collector's problem):

[link]

A szórásnégyzetre felső becslés: pi^2/6*n^2. Tehát ez n=32-re legfeljebb 41-es szórást ad. Úgyhogy nagyon nem kell félni, hogy többszáz paklit kéne elhasználnod, nagy valószínűséggel még igazán balszerencsés esetben is 200 alatt maradsz.