Ez az elméler létezik-e, hogy hívják, ha nem vannak e rá válaszok és fejtegették e már matematikusok?

"Ez is pont olyannyira végtelen számú elem, mint az eredeti egész számhalmaz?"

Igen.

"Ha a fenti halmazt kiemeltük, azok "hová tűntek" az új értelmezés szerint?"

Úgy definiáltál egy halmazt, hogy nem elemei az egész számok. Akkor ebben az új halmazban nem lesznek benne. Ha én definiálok egy halmazt, ami csak a 2-t tartalmazza, akkor a többi szám eltűnik? Nem, minden szám ugyanúgy megmarad, csak éppen ebben az új halmazban nincsenek benne.

"Mi a helyzet az így keletkezett "lyukakkal"?"

Mi lenne? Nem elemei a definiált halmaznak.

"Ezek a "lyukak" egyenértékűek-e a nulla számmal?"

Nem. Ezek a lyukak nem értelmezhetőek. Pl. a valós számok halmazának nem eleme a gyök(-1). Ezért ha az a feladat, hogy x^2=-1, akkor arra azt mondjuk, hogy a valós számok halmazán nincs megoldása. Nem 0, hanem nincs benne az alaphalmazban, ez két teljesen más dolog.

"Lehet-e ezzel a "buherált" számhalmazzal számításokat végezni? (tehát ha az eredmény egész szám lenne, az értelmezhetetlen eredmény)"

Lehet. Bármilyen halmazon végezhetsz műveleteket. Pl. én definiálom azt a halmazt, ami csak a 2-t tartalmazza. Ekkor 2x=4 megoldása 2, 2x=6 egyenletnek meg nincs megoldása. Nincs ebben semmi különleges. Pont ugyanezt csináljuk, amikor mondjuk a 0-nál húzunk egy határt, hogy pedig nekünk csak pozitív számok kellenek megoldásnak. A matematika ugyanaz, csak az egyik esetben hasznos dolgot csináltunk, a másik esetben meg nem. A te halmazod nem különleges. Csak azért nem hallottál róla soha, mert nem hasznos.

"Lehetséges lenne egy olyan alternatív univerzum ahol egy ilyen számkészlet gond nélkül működhetne?"

Itt is gond nélkül működik. Lehet vele számításokat végezni, ahogy minden más halmazon is. Csak nincs semmi különösebb értelme.