Nem rekurziv összegző képlet erre a sorozatra?

Először talán magával a sorozattal kellene megbirkózni. Legyen a(n) sorozat számlálója c(n), valamint nevezője d(n).

Észrevehető, hogy n>=1 esetén c(n+1)=2*c(n)^2-1 és a(n)-a(n+1)=1/d(n+1). Innen d(n+1)=2*c(n)*d(n). Mindenféleképpen kellene a c(1)=3 és d(1)=2 kezdeti érték is. Folyt. köv. Sz. Gy.

Ha jól látom, akkor ez a √2 lánctörtbe fejtésének egyes (2-hatvány?) elemei, a köv.: 886731088897/627013566048

A sor pontos összegét nem tudom (létezik-e rá pontos képlet?), de kb.:

Sn = n*√2 + 0.088241665823486186... ha n>=4

A nevezők reciprok összege felírható az a(1) és a(n) segítségével. Tehát a(1)-a(n)=1/d(2)+1/d(3)+...+1/d(n)=sum(1/d(i),i,2,n). Ugyanakkor a teljes összeg vissza vezethető az első elem és a reciprokok lineáris kombinációjára.

Sz. Gy.