Mit jelent az "infinitesszimális" szó?

Igen, ugyanazt jelenti, de erre magadtól is rá kellett volna hogy gyere, ha tanulnál csoportelméletet.

Amikor veszünk egy transzformációcsoportot, akkor annak meghatározzuk az infinitezimális generátorait, amelyek elsőrendű parciális differenciáloperátorok, ezeknek tudom venni a kompozícióját, azaz megnézem a kommutátorukat, amely mindig elsőrendű és kifejthető a generátorok lineárkombinációjaként, az együtthatük pedig a csoportra jellemző struktúraállandók - adott kanonikus paraméterezés esetén.

Ezekkel pedig már fel tudom építeni a valós Lie-algebráját a csoportnak.

Ez a fizikában mindennapos, az impulzusmomentum operátor is innen jön, mivel a J operátorok az SO(3) csoport generátorai, legalábbis pongyolán fogalmazva, mert hermetikussá kell őket alakítani, így már nem is a Lie-algebra elemei, hanem a komplexifikált algebrába tartoznak, az impmomentum négyzete pedig a fedőalgebra része.

Az SO(3) pedig az SU(2) fedőcsoportja és gyakorlatilag az origó körüli forgatásokból ki is esett az spin és még rengeteg más.