Hogyan lehetne ezt a számtani haladványt igazolni?

Azt jelenti, hogy számtani sorozat, de külhonban (pl. Szlovákia, Erdély) valami miatt haladványnak szeretik hívni.

Írjuk át a tagokat a és d függvényében:

b=a+d

c=a+2d, ekkor az a kérdés, hogy

a^2-(a+d)*(a+2d) ; (a+d)^2-a*(a+2d) ; (a+2d)^2-a*(a+d)

számtani sorozatot alkotnak-e, azt pedig úgy igazoljuk, hogy tudjuk, hogy adott tagtól szimmetrikusan elhelyezkedő tagok számtani közepe az adott tag, jelen esetben az első és a harmadik tag számtani közepe a második tag, tehát:

(a^2-(a+d)*(a+2d)+(a+2d)^2-a*(a+d))/2=(a+d)^2-a*(a+2d)

Ha ez azonosság, akkor jók vagyunk, ezt egyszerű algebrai műveletekkel meg lehet oldani.

WolframAlpha szerint igaz:

[link] : True, vagyis Igaz, tehát a fentiek számtani haladványt (sorozatot) alkotnak.

A következő trükköt érdemes megjegyezni:

ha egy számtani sorozat három tagjáról van szó bármilyen feladatban,

akkor (a=x ; b=x+d ; c=x+2d helyett)

célszerű a második tagból kiindulni:

a=x-d ; b=x ; c=x+d.

A vizsgálandó három kifejezés:

a^2-bc = (x-d)^2-x(x+d)

b^2-ac = x^2-(x-d)(x+d)

c^2-ab = (x+d)^2-(x-d)x

A zárójelek felbontása és összevonás után csak ennyi marad:

d^2 - 3xd

d^2

d^2 + 3xd

és máris látszik, hogy számtani sorozat.

Ha a számtani sorozatnak egyéb páratlan számú tagja szerepel bármilyen feladatban, akkor is célszerű a középső tagból kiindulni, mert a további számolásban, egyenletrendezésben a képletek jelentősen leegyszerűsödnek.

Pl. öt tag esetén:

x-2d ; x-d ; x ; x+d ; x+2d használandó.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a számtani sorozat bármely tagja a szomszédos tagok számtani közepe. Ezért:

b=(a+c)/2

és

b^2-ac=(a^2-bc + c^2-ab)/2

Ebből is bebizonyítható.