1∙2+2∙5+3∙8+⋯+n (3n-1) =n^2 (n+1) ?

Az általános tag: 3*n^2 - n

Ismertek az alábbi összefüggések a számok négyzeteinek összegére, ill. a számok összegére:

[link]

[link]

Az előbbi 3 szorosából utóbbit kivonva, pici rendezgetéssel adódik a keresett összefüggés.

( n*(n+1)/2 kiemelhető, n*(n+1)/2 * (2n+1-1) = ...)

Vagy marad a jó öreg teljes indukció:

1. n = 1 -re megnézed, jó

2. tfh. n = k -ra jó, azaz:

1*2 + ... + k(3k-1) = k^2(k+1)

3. vizsgáljuk meg n = k+1 -et:

bal oldal: 1*2 + ... + k(3k-1) + (k+1)(3k+2)

jobb oldal: (k+1)^2(k+2) = (k^2 + 2k + 1)(k+2) = k^2(k+1) + k^2 + (2k+1)(k+2)

Ha mindkét oldalból kivonjuk az n=k esetet:

bal: (k+1)(3k+2)

jobb: k^2 + (2k+1)(k+2)

Mindkettő 3k^2 + 5k + 2

Tehát ha n=k -ra igaz, akkor n=k+1 -re is igaz. Így minden n természetes számra igaz.

1.

(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1

(az (a+b)^2 nevezetes azonosság miatt)

2.

(k^2 + 2k + 1)(k + 2) = (k^2 + 2k + 1)((k+1) + 1) =

= (k^2 + 2k + 1)(k+1) + (k^2 + 2k + 1) =

= k^2(k+1) + 2k(k+1) + (k+1) + k^2 + 2k + 1 =

= k^2(k+1) + 2k^2 + 2k + k + 1 + k^2 + 2k + 1 =

= k^2(k+1) + 3k^2 + 5k + 2

Így talán érthetőbb.