Határozzuk meg az a^2-ab kifejezés maximumát, hogyha az a és b valós számok között fenáll a^2+b^2=4 összefüggés?

a=2

b=0

Akkor első körben maradjunk a deriválásnál.

A feltételből egyrészt b = ±gyök(4 - a^2), másrészt a és b is a [-2, 2] zárt intervallumból kerül ki, majd ne felejtsünk el helyettesíteni a határokon.

Helyettesítsük a kérdéses kifejezésbe előbb +-szal:

a^2 - a*gyök(4 - a^2).

Csak ott lehet szélsőértéke, ahol a derivált 0:

2*(a^2 + a*gyök(4-a^2) - 2)/gyök(4-a^2) = 0

Ez az intervallumok szélén nem értelmes, de ott úgy is ki kell próbálni utólag, a tört akkor 0, ha a számlálója 0.

a^2 + a*gyök(4 - a^2) - 2 = 0,

a = gyök(2 ± gyök(2)).

Ebből (a, b) = (gyök(2 + gyök(2)), gyök(2 - gyök(2))), a kifejezés pedig 2,

(a, b) = (gyök(2 - gyök(2)), gyök(2 + gyök(2))), és a kifejezés értéke -2*(1-gyök(2)) < 0,

(a, b) = (gyök(2 + gyök(2)), -gyök(2 - gyök(2))), a kifejezés 2*(1 + gyök(2)) – a fentiek alapján ez az egyik megoldás,

vagy

(a, b) = (gyök(2 - gyök(2)), -gyök(2 + gyök(2))), a kifejezés 2.

Helyettesítsünk most a --szal:

a^2 + a*gyök(4 - a^2),

a derivált

2*(2 + a*gyök(4-a^2) - a^2)/gyök(4-a^2) = 0.

a = gyök(2 + gyök(2)) vagy a = -gyök(2 - gyök(2)).

(a, b) = (gyök(2 + gyök(2)), gyök(2 - gyök(2))), a kifejezés 2,

(a, b) = (gyök(2 + gyök(2)), -gyök(2 - gyök(2))), a kifejezés 2*(1+gyök(2)) – a fentiek alapján ez a másik megoldás,

(a, b) = (-gyök(2 - gyök(2)), gyök(2 + gyök(2))) a kifejezés 2,

(a, b) = (-gyök(2 - gyök(2)), -gyök(2 + gyök(2))), a kifejezés -2*(1-gyök(2)).

Végül még az intervallum szélén meg kell nézni az (a, b) = (2, 0), és az (a, b) = (-2, 0) kombókat, amik 4-et adnak, tehát nem a maximumot.

Összefoglalva a kifejezés maximuma 2 + 2*gyök(2).

A 12:02-esnek: Hö? Erre a megoldásra kíváncsi vagyok. Ha megkérünk rá, akkor levezeted?

A Lagrange-multiplikátoros megoldás amúgy valami ilyesmi:

Legyen Λ = a^2 - a*b + λ*(a^2 + b^2 - 4). Ezen függvény három változó szerinti parciális deriváltjának 0-nak kell lennie, ahol maximuma van a függvénynek, így lesz egy háromismeretlenes egyenlet rendszerünk a, b, λ-ra:

(1) 2*a - b + 2*λ*a = 0,

(2) -a + 2*λ*b = 0,

(3) a^2 + b^2 - 4 = 0.

(2)-ből λ = a/(2*b), ha b ≠ 0, a b = 0 esetet a 19:07-es válaszadó vizsgálta (4 lesz a kifejezés értéke).

(1)-be helyettesítve

2*a - b + a^2/b = 0,

2*a*b - b^2 + a^2 = 0.

(3)-mal összevetve ez pedig a 00:50-es válaszban szereplő ronda egyenletre vezet.

Az egyenletrendszer megoldásait helyettesítve a kifejezésbe látszik, hogy a kifejezés maximuma 2*(1 + gyök(2)).