Hogyan lehet kiszámítani a befogókat egy derékszögű háromszögben, ha tudjuk az átfogó és az ahhoz tartozó magasság hosszát?

Pitagorasz-tétellel, nyolcadikas tananyag.

a^2+b^2=c^2, ahol a,b a derékszögű háromszög befogói, c pedig az átfogója. Ha megvan a c-hez tartozó magasság, akkor kapsz tulajdonképpen két kisebb háromszöget, amelyeknek már ismered 2-2 oldalát (c/2, valamint a c-hez tartozó magasság). Innen ki tudod számítani az a,b befogókat.

Az első válaszoló vagyok: Igen, tévedtem, ezért elnézésed is kérem. De én nem tudatlanságból, hanem szimplán figyelmetlenségből hibáztam. Ennyiből megoldható, csupán a Thalész-tételt kell hozzá alkalmazni (na mi is az?).

Kérdező: ha megadod az adatokat, csinálok neked róla egy rajzot.

Inkább megmondom...

[link]

Vegyük ezt a háromszöget.

x a magasságvonal és a c szakasz bal oldali végpontjától való távolság (a hivatalosságot most hagyjuk). c-x így egyértelmű.

Ekkor:

a^2+b^2=c^2

x^2+m^2=a^2

(c-x)^2+m^2=b^2

Ha behelyettesítünk:

x^2+m^2+(c-x)^2+m^2=c^2

x^2+m^2+c^2-2cx+x^2+m^2=c^2 (Felbontottuk a [c-x]^2-t)

2x^2+2m^2+c^2-2cx=c^2

2x^2+2m^2=2cx

x^2+m^2=cx

Ha emlékszünk pár sorral ezelőttre, akkor ott láttuk, hogy:

x^2+m^2=a^2, tehát: cx=a^2. Ebből következik, hogy a=(cx)^(1/2) [cx az egykettediken, tehát gyök cx).

Ismét visszahelyettesítve, csak most az a^2+b^2=c^2-be:

[(cx)^(1/2)]+b^2=c^2 (Gyök cx a négyzeten)

cx+b^2=c^2 (Gyök cx a négyzeten az cx).

b^2=c^2-cx

b=(c^2-cx)^(1/2) (c négyzet mínisz cx, az egész a gyök alatt).

Tehát kedves előző, NEM KELL TÖBB ADAT, szimpla középiskolai matematika elég.

Ja, és mielőtt szó éri a ház elejét...

x^2+m^2=cx

x^2-cx+m^2=0

FIGYELEM!

Az itt található változók nem a háromszöghöz tartoznak!

x1,2=(b+-[(b^2-4ac)]^(1/2)/2a

A megoldóképlettel megtudhatod az x értékét (természetesen negatív értéke nem lehet a háromszög oldalának, így egyértelmű).

±²

Sziasztok!

A feladat tulajdonképpen már meg van oldva, mégis szeretnék pár dolgot leírni.

1.) Ha feladatban derékszögű háromszög szerepel, az esetek többségében - itt is - célszerű Thales kört is bevetni.

2.) Hasznos lehet mértani középarányosok tételeit alkalmazni, miszerint:

a.) Az átfogóhoz tartozó magasság mértani középarányos az átfogó két szelete közt.

A magasságpont két részre osztja a átfogót (c1 és c2)

m² = c1*c2

b.) A háromszög befogója mértani középarányos az átfogó és a befogónak az átfogóra eső vetülete közt.

a²=c*c1

b²=c*c2

Egy kicsi átalakítás és keresztelés

A háromszög baloldali csúcsa A, jobb oldalon a B, a derékszögnél a C.

A magasság talppontja M, a kör középpntja O.

Ha megrajzolod a Thales kört - a kör R = c/2 - akkor az OC = R, az MO szakasz = y

Megoldás

Adott: derékszögű háromszög, m és c = 2 *R !

Keresett: a két befogó a és b?

******************************************************

A 2a.) tétel alapján

az AM szakasz = R -y (a rajzon x), a c - x = R + y, így

m²=(R - y)*(R + y) = R² - y² (ez az OCM háromszögből is felírható, csak a tétel miatt írtam így) ebből

y = sqrt(R² - m²) (sqrt a gyökjel helyett van)

(Az utolsó előtti kérdezőnek: x = R - y = c/2 - y)

A 2b.) alapján

a² = 2*R*(R-y)

b² = 2*R*(R+y)

Visszaírva a c értékét:

a² =c *(c/2 - y)

b² = c*(c/2 + y)

Nem akarom bonyolítani a leírást az y behelyettesítésével, azt hiszem, így is érthető.

Én még úgy tanultam, hogy a háromszög megadásához 3 adat szükséges, itt meg látszólag csak 2 adat van megadva.

Nem véletlen a 'látszólag' szó, mert a harmadik adat az, hogy a háromszög DERÉKSZÖGŰ.

DeeDee