Hogy lehet elérni, hogy a háromszögben lévő P ponton áthaladó szakaszok hossza (együttesen) a lehető leghosszabb legyen, a háromszögön belül?

A feladat megoldásának titka a szimmetria. Azt hamar észre lehet venni, hogy a háromszög középpontjában a szakaszok hosszának összege 3*7.5 cm = 22.5 cm, míg a háromszög kerületén BÁRHOL (a csúcsokban is) ez az összeg 30 cm, vagyis két háromszögoldal.

Innen kezdve az a sejtésünk támadhat, hogy minél kijjebb megyünk, annál nagyobb lesz ez az összeg. Ennek belátása azon múlik, hogy rájöjjünk, hogy ha a nagy háromszögön belül rajzolunk egy kisebb szabályosat a középpont körül az oldalakkal párhuzamosan, akkor bárhol is vesszük föl ennek a kisebb háromszögnek az oldalán a P pontot, a rajta keresztül húzott párhuzamos szakaszok hosszának összege mindig ugyanakkora lesz. (Fizikai hasonlattal élve tehát ezek tehát egyfajta "ekvipotenciális" határvonalak.) Belátható, hogy minél nagyobb ez a kis háromszög, annál nagyobb lesz ez az összeg is. Határesetben a kis háromszög megegyezik a naggyal.

Ehhez azt kell bizonyítani, hogy a kis háromszög méretének növelésével a szakaszhosszak összege lineárisan nő (kvadratikus vagy magasabb rendű esetben elfordulhatna csökkenés is, és akkor a maximumhely nem feltétlenül a nagy háromszög peremén van). De ez sem nehéz, ha meggondoljuk, hogy egy adott kis háromszög peremén vett P ponton áthaladó szakaszok hosszának összege egyenlő a kis háromszög oldalának kétszeresével + 6*(amennyi távolság a kis háromszög szélei és a nagy háromszög határai között a háromszögek oldalaival párhuzamosan mérve még megvan).

Ha lerajzolod, akkor érthető lesz. A fenti "+" jel mindkét oldalán olyan mennyiség áll, ami linerisan változik a kis háromszög méretével (az első tag nő, a második csökken), azaz a teljes összeg is lineárisan változik. Emiatt a szakszhosszak összege is lineárisan változik a háromszög középpontja (elfajult kis háromszög) és a nagy háromszög között, és mivel a peremen nagyobb ez az érték, a maximumát is itt éri el.

Amennyiben szigorúan csak a háromszög belsejébe eső pontok jöhetnek szóba P pontként, akkor a feladatnak nincs megoldása, mert a belső pontok halmaza nyílt halmaz, amelyen a fenti maximum nem létezik.

"...hogy a háromszög középpontjában a szakaszok hosszának összege 3*7.5 cm = 22.5 cm..."

Javasolnám ennek az állításnak a felülvizsgálatát, ugyanis bizonyítható, hogy minden, a háromszög belsejében fekvő pont estén a feladat szerint meghúzott szakaszok összege 2*a, ahol 'a' a háromszög oldalhossza.

DeeDee

*******