A következő egyenletrendszernek mik a megoldásai?

Tom Benko, ennek a két egyenletnek nem sok köze van az ellipszisek egyenletéhez… Már csak azért sem, mert x és y periodikus függvénye szerepel az egyenletben. (De például az első a = 1, b = 2, e = 1 esetén: [link] )

Abban értünk egyet, hogy ronda lesz a vége. Én úgy sejtem, hogy zárt alakban nem is lesz megoldás, numerikus módszerekkel lehet próbálkozni, de hogy őszinte legyek, általános esetben a francnak van kedve. (Ezért is nem írtam eddig, most is csak a butaság miatt.)

Oké, hülye vagyok… sin(x) = cos(x - pi/2), tehát a helyettesítés:

c*cos(arccos((e+bcosy)/a) - pi/2) - d*sin(y) = f

c*((e + b*cos(y))/a - pi/2) - d*sin(y) = f

És akkor itt van a megoldás y-ra:

[link]

Annyi megjegyzés, hogy az arccos alkalmazásával elveszítettünk néhány gyököt.

(((Ez most komoly, hogy nem tudod, mi az az ellipszis?… Amúgy rajtad nem lepődök meg, mert volt már itt egy afférunk, akkor valami határérték definíciót nem tudtál. – Bocsánat a személyeskedésért, befejeztem!)))

Akkor amit linkeltem, kicsit „magasabbról” nézve:

[link]

Ha van egy ellipszisünk a síkon, és azt eltoljuk valamennyivel (most konkrétan egy (2*n*pi, 2*m*pi) vektorral, ahol n és m egész számok), akkor az önmagába megy át?

Persze ezzel a helyettesítéssel is kijön valami hasonló rondaság, mint az előbb, és az is igaz, hogy így kevésbé veszítünk gyököt: [link]

Akkor a koordinátageometriás ellipszisdefiníció:

Egy görbe ellipszis, ha az

a*x^2 + b*x*y + c*y^2 + d*x + e*y + f = 0

egyenlet írja le, ahol b^2 < 4*a*c.

[link]

Erről látszik, hogy az ellipszis egy másodfokú görbe, azaz ha egy görbe egyenletében harmadfokú tagok is vannak, akkor nem lehet ellipszis. Márpedig a fenti egyenlet:

a*cos(x) - b*cos(y) = e

a*(1 - x^2/2 + x^4/24 - …) - b*(1 - y^2/2 + y^4/24 - …) - e = 0,

azaz ebben sokkal magasabb fokú tagok is vannak.

Vagy hogyha megnézed közelebbről az „ellipsziseidet”, akkor láthatod, hogy csúcsuk van, egy ellipszisnek olyanja nincs: [link] (Az ábra közelebbről, vesd össze a wikis ellipszis képpel.)