Eltudná valaki magyarázni egy görbe görbületének részletes levezetését?

Nagyon egyszerű. Egy adott pontbeli görbület értelmezéséhez először tudni kell az adott pontbeli egységnyi hosszúságú érintővektort. Ez definíció szerint egységnyi hosszú, ezért a görbe mentén változni csak irányban tud. Vagyis a görbület nem más, mint annak mértéke, hogy egy adott pontbeli érintőirányú egységvektor milyen szögben fordul el, ha egy nagyon kicsit arrébb visszük a görbén. Azaz a görbület az érintővektor (ami a paraméterezett görbe adott pontbeli első deriváltja) deriváltja, vagyis a második derivált ebben a pontban a görbe ívhossz paraméterezése esetén. Egy vektor ilyen infinitezimálisan közeli pontok közötti irányváltáskor pedig csak önmagára merőlegesen tud elfordulni. (Forgatási mátrix elemeit ha sorba fejted, akkor a szinusz első rendben eltűnik, míg a koszinusz nem, az 1-et ad, vagyis kis szögű forgatáskor egy vektor merőleges vetülete, amit a koszinusz ad meg, változatlan marad, azaz a változás magára a vektorra merőleges lehet csak.) Ezért a görbület (második derivált) is merőleges a görbére az adott pontban.

A görbületi sugarat az alapján lehet értelmezni, hogy egy R sugarú kör görbülete annak tetszőleges pontjában 1/R. Ezt a logikát megfordítva egy görbe adott pontbeli görbületéhez is lehet rendelni egy görbületi sugarat, amely nyilván a simulósíkba eső kör (a simulókör) sugara lesz, és értelemszerűen a görbület reciprokával egyenlő.

A derivált nem egyszerűen egy határérték, hanem egy hányados határértéke. Tehát kis elmozdulás estén hiába tart nullához a szögelfordulás (és az elmozdulás is), nem ezeknek a határértékét, hanem a szögelfordulás és az elmozdulás hányadosának határértékét jelenti a derivált:

lim (delta_alfa/delta_s),

ahol delta_s tart a nullához (5.1. definíció az általad megadott link alatt). És ez a limesz már nem a nullához tart. Nem is tarthat, mivel nyilvánvaló, hogy az érintő meredeksége pontról pontra változik, ahogy végighaladsz a görbén.

Az ívhossz szerinti paraméterezés egyenletesen nő a görbe mentén, hiszen a hosszal arányos. Ez egyfajta természetes paraméterezés. A link alatti levezetés erre az esetre vonatkozik. Tetszőleges paraméterezésnél azonban a deriváltak értékei megváltoznak. Ez esetben a fenti határérték nevezőjét az előző esetből úgy lehet származtatni, hogy a ds helyére dt*ds/dt-t írsz, ahol ds/dt az s(t) függvény, azaz a régi s paraméter helyett az új t paramétert bevezető függvény deriváltja. A ds/dt tehát egy olyan szám, amely módosítja a hányados értékét. A számláló szintén módosul, mivel az alfa szögelfordulást is az új t paraméter szerint kell mérni. Ha megnézed a levezetést, akkor a dt/ds köbe jelenik meg annak megfelelően, hogy a számláló két deriváltnak a (vektoriális) szorzata, amelyekre külön-külön vonatkozik egy-egy dt/ds derivált, és a nevezőben is ott van egy ds/dt, amit kiemelve annak reciproka egy újabb dt/ds szorzótényezőt jelent.

Egy analógiával talán könnyebben meg lehet érteni a dolgot. Vegyük az y=x függvényt. Ennek x szerinti deriváltja mindenhol 1. De ha az x paraméter helyett bevezetek egy új, t változót az x(t) függvény segítségével (t itt most nem idő, csak egy másik paraméterezés), akkor az y t szerinti deriváltja mi lesz? A láncszabály alapján:

dy/dt = dy/dx * dx/dt, azaz a korábbi dy/dx derivált, ami 1, megszorzódik a dx/dt deriválttal, ami meg annyi, amennyi (pontonként változhat). Most már érthető, hogy miért változik meg egy derivált értéke, ha a paraméterezést is megváltoztatod. A görbület számítása esetében ugyanígy van, csak ott második derivált jön be, amely két tagú lesz, és hogy a paraméter második deriváltját kiküszöböljük, ezért alakítjuk át a számlálót egy vektoriális szorzattá.

Ami a forgatási mátrixot illeti, te egy determináns első sorát írtad, én viszont mátrixról beszéltem.

Két dimenzióban maradva (hiszen a görbe simulósíkja is az) az alfa szöggel történő forgatás mátrixának alakja:

[ cos(alfa) -sin(alfa) ]

F(alfa) = | |

[ sin(alfa) cos(alfa) ]

Ha alfa nagyon kicsi, akkor cos(alfa) -> 1 és sin(alfa) -> alfa, azaz

[ 1 -alfa ]

F(alfa) = | |

[ alfa 1 ]

Vagyis ha ezzel elforgatsz egy x irányba mutató egységnyi

[ 1 ]

v = | | oszlopvektort, akkor ezt kapod:

[ 0 ]

[ 1 ]

F * v = | |

[ alfa ]

Vagyis a vektor önmagára merőlegesen változik. Na, ez történik egy görbe egységnyi hosszúságú érintővektorával is, amikor egy kicsivel arrébb viszed a görbén, és közben egy kis alfa szöggel elfordul.

Őszintén szólva én sosem tanultam olyan differenciálgeometriát, amit te, csak valami minimálisat. Ellenben volt egy kis Riemann-geometria, ami az általános relativitáselmélethez kellett, de az más jellegű.

Tapasztalatom szerint a magyar nyelvű szakkönyvek közül a régebbiek sokszor hasznosabbak, mint a maiak, ezért én megpróbálnám beszerezni Szőkefalvi-Nagy Gyula: Differenciálgeometria című könyvét (Műszaki könyvkiadó, 1979), antikváriumokban talán kapható. Keress rá a neten.

De találtam egyetemi jegyzeteket is:

[link]

[link]

[link]

Ebben vannak gyakorló példák is megoldásokkal együtt:

[link]

Ha tudsz angolul, akkor talán ez is hasznos lehet:

[link]

[link]

Vagy itt az MIT nyílt kurzusos tananyaga:

[link]

Rengeteg helyen találhatsz még segítséget, próbálj keresgélni.