Egy mozi pénztáránál 12 ember áll sorba 1-1db 1000 Ft-os jegyért. Közülük 6-nak 1000 Ft-os,6-nak 2000 Ft-os bankjegye van. A kasszában nincs váltópénz. P=? , hogy a sor nem akad el?

Remélem ebből megérted, ha nem, akkor majd kérdezel :)

Vegyünk egy koordinátarendszert, és legyen a kiindulópont az origó. Lépjünk 1 egységet az y-tengellyel párhuzamosan felfelé, ha a soron következő ember 2000-sel szeretne fizetni, az x-tengellyel párhuzamosan jobbra, ha 1000 Ft-ossal szeretnének fizetni. Mivel akárhogyan is álljanak sorba ezek az emberek, mindig 6-ot fogunk jobbra lépni, és 6-ot felfelé, ezért a célunk eljutni a (6;6) pontba.

Mivel 12 lépésből 6-szor jobbra kell lépnünk, 6-szor felfelé, ezért a lépéseket ismétlésesen permutálva 12!/(6!*6!)-féleképpen lehet eljutni, ennyi az összes eset száma.

Lássuk az első pár esetet:

-ha a sor elején egy 2000-es lenne, akkor megakadna a sor, vagyis a (0;1) pontba nem léphetünk.

-ha a sor elején egy 1000-es után 2 2000-es áll, akkor is megakad a sor, tehát az (1;2) pontra sem léphetünk.

-ha 2 1000-es után 3 2000-es áll, akkor a kasszás megint csak nem tud visszaadni, így a (2;3) pont se jó nekünk.

Ezt végig lehetne játszani, ekkor láthatnánk, hogy ezek a pontok egy egyenesre esnek, méghozzá az y=x+1 egyenesre. Ez lesz a "tiltott egyenesünk", amire nem léphetünk.

Azt kell kiszámolnunk, hogy hány olyan lépéssor van, ami vagy átlépi, vagy érinti ezt az egyenest. Ezt a következőképpen tudjuk kiszámolni: tükrözzük a végpontot, vagyis a (6;6) pontot a tiltott egyenesre. Egy pontot úgy tükrözünk az 1 meredekségű, az y-tengelyt c-ben metsző egyenesre, hogy a pont koordinátáit megcseréljük, az elsőből kivonjuk a c-t, a másodikhoz hozzáadjuk. Így a (6;6) pont megcserélése után a (6;6) pont első koordinátájából vonjunk ki c=1-et, másodikhoz adjuk hozzá, így a (7;5) pontot kapjuk. Ez azért jó így, mert ha ebbe a pontba szeretnénk eljutni, akkor azt a lépéssort tükrözve rossz lépéssort kapunk az eredeti célponthoz. Ebbe az új célpontba az előzőek alapján 12!/(7!*5!)-féleképpen tudunk eljutni. Mivel ezzel azokat a lépéssorokat számoltuk ki, amik érintik a tiltott egyenest, ezért ez a rossz esetek száma.

Összes eset-kedvező eset képlettel számolva 12!/(6!*6!)-12!/(5!*7!)=132-féleképpen állhatnak sorba az emberek, ha nem teszünk különbséget köztük. Ha különbséget teszünk (és emberek között illik különbséget tenni), akkor permutálnunk kell még az 1000-essel rendelkezőket és a 2000-sel rendelkezőket, így ezt az összege 6!*6!-sal még szorozzuk, így 132*6!*6!=68.428.800-féleképpen tudnak sorba állni a jegyért.