Sorozatok, felső korlát, alsó korlát?

> „Jó, de hol jön be a képbe a supremum, és az infimum? Mert a supremum a sorozat legkisebb felső korlátja, de ha egy sorozatnak csak 1 felső korlátja van, akkor hogy lehet legkisebb?”

Minden sorozatnak végtelen sok felső és alsó korlátja van. Ha egy sorozatnak felső korlátja az A szám, akkor az A + 2, A + 3, A + 354 és A + 354654 is felső korlátja, hasonlóan, ha alsó korlát a B, akkor a B - 2 is az. A felső és alsó korlát csak annyit tud, hogy a sorozat sosem lépi át őket. Mint ahogy te sem léped át a korlátod a londoni parlament körül, sőt, a közelébe se mész.

A szuprémum meg az infimum az más. Azokhoz annyira közel megy a sorozat, amennyire csak tud.

> „Azt sem értem, hogy pl honnan lehet tudni, hogy egy felső korlát meddig tart. Ezt úgy értem, hogy ha mondjuk egy sorozat felső korlátja 30, akkor a supremuma mennyi?”

A felső korlát csak annyit mond a szuprémumról, hogy az nála kisebb. Ha én azt mondom, hogy nem tudom átugrani a Holdat, abból még nem következik, hogy az egy métert se tudom átugrani, vagy hogy át tudom ugrani a 3 métert.

Ha egy sorozat felső korlátja a 30, akkor a szuprémum 30-nál kisebb.

„Hasonló a gond a halmazok felső határánál. Ott még annyira sem tudom elképzelni a dolgokat, mint a sorozatoknál, hogy egy halmaznak hogy lehet felső meg alsó korlátja.”

Ha ez segít, akkor képzeld el, hogy a halmaz elemein ugrálsz össze-vissza, és akkor egy sorozatot kapsz, amivel nem léphetsz a halmaz alsó korlátja alá, vagy a felső korlátja fölé, viszont tetszőlegesen közel kell tudnod lépni a szuprémumhoz és infimumhoz.

Persze logikailag fordítva szokták felépíteni a dolgot, előbb beszélnek a halmazokról, aztán a sorozatokról, de ez ebből a szempontból mindegy.

Összefoglalva:

Felső korlát: egy olyan szám, aminél a halmaznak/sorozatnak nincs nagyobb eleme.

Alsó korlát: egy olyan szám, aminél a halmaznak/sorozatnak nincs kisebb eleme.

Szuprémum: az a szám, ami a halmaz/sorozat felső korlátjai közül a legkisebb.

Infimum: az a szám, ami ami a halmaz/sorozat alsó korlátjai közül a legnagyobb.