Ezt nem tudom megonldani matek feladat: sin^2 (x) -sin (x) cos (x) +cos (x) -sin (x) =gyök3 (cos^2 (x) -cos (x) sin (x) Tudnátok nekem segíteni ennek a feladat megoldásában?

Huh, hát nem egy rövid feladat, az biztos :)

Akkor kezdjünk neki; a bal oldal első két tagjából emeljünk ki sin(x)-et, a jobb oldalból cos(x)-et:

sin(x)(sin(x)-cos(x))+cos(x)-sin(x)=√3*cos(x)(cos(x)-sin(x))

Tudjuk, hogy cos(x)-sin(x)=-(sin(x)-cos(x)), ezt írjuk a bal oldalra:

sin(x)(sin(x)-cos(x))-(sin(x)-cos(x))=√3*cos(x)(cos(x)-sin(x))

A bal oldalon kiemelhető (sin(x)-cos(x)):

(sin(x)-cos(x))(sin(x)-1)=√3*cos(x)(cos(x)-sin(x))

A jobb oldalon ismét használjuk a cos(x)-sin(x)=-(sin(x)-cos(x)) összefüggést:

(sin(x)-cos(x))(sin(x)-1)=-√3*cos(x)(sin(x)-cos(x))

Látható, hogy mindkét oldalon van szorzótényezőként sin(x)-cos(x). Ha ez a tényező 0, akkor 0=0 teljesül, vagyis végezzük el ezt az egyenletet:

sin(x)-cos(x)=0 /+cos(x)

sin(x)=cos(x) /:cos(x)

tg(x)=1, ezt pedig tudjuk, hogy x=π/4+k*π (k tetszőleges egész).

Most azt az esetet nézzük, amikor a fenti érték nem 0, ekkor oszthatunk vele:

sin(x)-1=-√3*cos(x) /+√3*cos(x)+1

sin(x)+√3*cos(x)=1 /négyzetre emelés

sin^2(x)+2*√3*cos(x)*sin(x)+3cos^2(x)=1

Tudjuk azt is, hogy sin^2(2)+cos^2(x)=1:

1+2*√3*cos(x)*sin(x)+2cos^2(x)=1 /-1; :2

√3*cos(x)*sin(x)+cos^2(x)=0 /kiemelünk cos(x)-et

cos(x)*(√3*sin(x)+cos(x))=0

A bal oldalon egy szorzat van, és a szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0, tehát:

vagy cos(x)=0, vagyis x=π/2+l*π (l tetszőleges egész),

és/vagy √3*sin(x)+cos(x)=0 /-cos(x)

√3*sin(x)=-cos(x) /:(-sin(x))

-√3=tg(x), ismét egy nevezetes szorzat: x=π-π/3+m*π=2π/3+m*π (π tetszőleges egész).

A megoldások valódiságáról ellenőrzéssel győződünk meg.

wolfram mathematica val

[link]

Az első megoldás közepétől lehet picit egyszerűbben, négyzetreemelés - és így a hamis gyökök bejövetele - nélkül:

sin(x)+√3*cos(x)=1 /itt osszunk 2-vel

1/2*sin(x)+√3/2*cos(x) = 1/2

van az addíciós képlet:

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny

ez y=Pi/6 -tal épp a fenti egyenlet, azaz

sin(x+Pi/6)=1/2

innen meg már könnyű...