Matek, halmazelmélet: Mi a hiba ebben a levezetésben?

Rimán János: Matematikai analízis, 1. kötet

Első ránézésre elég hosszúnak tűnik, de valójában csak nagyon részletes voltam. Illetve, kettő azonosság levezetését írom le. Az elsőt azért, mert érdekel hogy korrekt-e. A másodikkal van gondom. Hálás lennék ha adnátok tanácsot.

A levezetésbe leírtam minden olyan tételt amelyet a könyvből segítségül hívtam, így elvileg könyv nélkül is át lehet látni.

1.19 tétel (2)

X az alaphalmaz, A,B részhalmazai X-nek

Azonosság: A részhalamaz B-nek ekvivalens B-komplementerhalmaza részhalmaza A-komplementerhalmazának

ELSŐ ESET (egyszerű halmazok)

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A={1, 2, 3}

B={1, 2, 3, 4, 5}

Az ekvivalencia művelet két esetben ad igaz eredményt: ha mindkét érték (műveleti argumentum) igaz vagy mindkettő hamis volt. Jelöljük ezeket az eseteket római számokkal, I az igaz-igaz, II a hamis-hamis. Nézzünk példákat mindkét esetre.

I eset

A részhalmaza B-nek, triviális hogy igaz. Vezessük le a B-komplementer részhalmaza A-komplementer állítást. Képezzük B és A komplementerhalmazait:

B komplementerhalmaza = X\B = {x : x eleme X-nek és x NEM eleme B-nek} = {6, 7, 8}

A komplementerhalmaza = X\A = {x : x eleme X-nek és x NEM eleme A-nak) = {4, 5, 6, 7, 8}

A részhalmaz állítás tehát fennáll.

II eset

Tehát mindkét logika érték hamisnak kell lennie. Az A halmazt módosítsuk úgy, hogy tartalmazzon olyan elemet amit a B nem, legyen mondjuk ez a nulla (0). De ezt az elemet nyilván az alaphalmaz is tartalmazza, tehát így néznek ki a halmazaink:

X={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A={0, 1, 2, 3}

B={1, 2, 3, 4, 5}

A részhalmaza B-nek hamis, nézzük a másik állítást

B-komplementer részhalmaza A-komplementernek. Képezzük B és A komplementerhalmazokat:

B-komplementer = X\B = {x : x eleme X-nek és x NEM eleme B-nek} = {0, 6, 7, 8}

A-komplementer = X\A = {x : x eleme X-nek és x NEM eleme A-nak} = {4, 5, 6, 7, 8}

B komplementer részhalmaza A komplementerhalmaznak hamis, tehát az ekvivalencia igaz eredményt ad.

MÁSODIK ESET (halmazrendszer)

X={A={1, 2, 3}; B={1, 2, 3, 4, 5}; C={5, 6, 7}; D={8}}

Felsorolással való jelöléskor nem hiszem hogy ez a fajta jelölésmód elfogadott hogy egyenlőségjellel adjuk meg a halmaz betűjelét, de ettől most tekintsünk el.

I eset

A részhalmaza B-nek, IGAZ

Azt kell megmutatni hogy B-komplementer részhalmaza A-komplementernek. Képezzük B és A halmazok komplementerhalmazait:

B-komplementer=X\B={x:x eleme X és x NEM eleme B}={A, B, C, 6, 7, D, 8}

Ez úgy jött ki hogy szépen végiglépkedünk a halmazrendszer elemein és vizsgáljuk rá a feltételt.

A halmaz: A halmaz eleme az X halmaznak így ez igaz. Az A halmaz pedig NEM eleme a B halmaznak, ez is igaz, tehát az ÉS művelete igaz eredményt ad, vagyis az A halmaz is belekerül a komplementerhalmazba.

Az A halmaz elemei: 1, 2, 3: Ezek az elemek nem kerülnek bele a komplementerhalmazba, hiszen benne vannak a B halmazban.

B halmaz: a B halmaz benne van az X halmazban, tehát eleme. Ugyanakkor NEM teljesül az hogy B eleme X-nek, tehát az ÉS művelet szintén igaz lesz.

A további elemek hasonlóan képezhetőek.

KÉRDÉS: Ez a komplementerképzés jó?

Képezzük az A halmaz komplementerhalmazát:

A-komplementer=X\A={x:x eleme X és x NEM eleme A}={A, B, 4, 5, C, 6, 7, D, 8}

Ekkor B-komplementer részhalmaza B-komplementer, így igaz ekvivalens igazzal => IGAZ

II eset

Az A halmaz elemeit módosítjuk úgy hogy tartalmazzon olyan elemet, amit a B halmaz nem.

A:={0, 1, 2, 3}

Ekkor A részhalmaza B-nek HAMIS, vagyis azt kéne kapnunk hogy B-komplementer részhalmaza A-komplementer szintén hamis. Képezzük B és A komplementerhalmazait:

B-komplementer={0, A, B, C, 6, 7, D, 8}

A-komplementer={x:x eleme X és x NEM eleme A}={A, B, 4, 5, C, 6, 7, D, 8}

Ekkor B-komplementer részhalmaza A komplementernek nem teljesül, tehát az ekvivalencia IGAZ eredményt ad.

HARMADIK ESET (halmazrendszer)

Legyen az alaphalmaz

X={B={A={1, 2, 3}; C={4, 5, 6}; 7, 8}; D={a, b, c, d}; E={f}; g, h, i}

I eset

A részhalmaza B-nek IGAZ

Képezzük B és A komplementerhalmazait:

B-komplementer=X\B={x:x eleme X és x NEM eleme B}={B, D, a, b, c, d, E, f, g, h, i}

A komplementerképzés azon alapul amiket korábban kimondtunk. Ha egy halmaz részhalmaza egy másik halmaznak, és ténylegesen benne is van, akkor eleme is. Ugyanakkor egy halmaz NEM eleme önmagának.

A-komplementer=X\A={x:x eleme X és x NEM eleme A}={B, A, C, 4, 5, 6, 7, 8, D, a, b, c, d, E, f, g, h, i}

Ezek a komplementerképzések jók?

Ekkor B-komplementer részhalmaza A komplementerének, így az ekv. Igaz eredményt ad.

II eset

NINCS (szükségtelen). Eddig nincsen semmi probléma, ezt a levezetést csak azért írtam le mert az érdekel hogy jó-e?

A következő tétel, aminek a levezetésénél azonban ellentmondás jön ki és az érdekel hogy elnézek-e valamit.

Ez a 1.20tétel (6)-os pontja, ami a következő:

X alaphalmaz, A,B részhalmazai X-nek

A unió X = X (ezzel van gond, így a továbbiakban csak erről beszélünk)

A metszet X = A (ezzel nincs gond, így a továbbiakban nem kerül elő)

ELSŐ ESET

X={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A={1, 2, 3, 4, 5}

B={1, 2, 3}

A unió X={x: x eleme A vagy x eleme X}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Ami pedig egybeesik az alaphalmazzal, itt nincs gond. Ellentmondás akkor van, ha az alaphalmaz már halmazrendszer.

MÁSODIK ESET (halmazrendszer)

X={A={1, 2, 3}; B={4, 5, 6, 7}; C={8, 9}}

A unió X = {x: x eleme X vagy x eleme X}={A, 1, 2, 3, B, 4, 5, 6, 7, C, 8, 9}

Ha az alaphalmazt korrekt jelölésekkel írom fel: X={A, B, C, D}. Tehát az alaphalmaz egy olyan halmaz, aminek elemei 4 db halmaz. Amit viszont eredményül kaptunk, ott van a 4 halmaz, de ott vannak az elemek is, ami pedig nem egyenlő az alaphalmazzal. Mit nézek el?

HARMADIK ESET (halmazrendszer)

Legyen az alaphalmaz

X={B={A={1, 2, 3}; C= {5, 6}; 7, 8}; D={a, b, c}; E={e, f}; g, h, i}

A unió X={x:x eleme X vagy x eleme X}={B, A, 1, 2, 3, C, 5, 6, 7, 8, D, a, b, c, E, e, f, g, h, i}

A probléma ugyanaz mint a MÁSODIK ESET-tel. Ellentmondás, mert ez nem az alaphalmaz.

Köszönöm, üdv