R sugarú körlemezből mekkora körcikket kell kivágni, hogy a maradékból maximális térfogatú tölcsért lehessen hajtogatni?

jó kis feladat :)

szóval

kivágsz alfa szögű körcikket R sugarú körből.

a kör kerülete lenne 2*R*Pi.

ez csökken alfa szöggel (fokban)

a maradék ívhossz (360-alfa)/360*2*R*Pi

ez lesz a kúp alapkörének (sugara r) kerülete, azaz

2rPi=(360-alfa)/360*2*R*Pi

egyszerűesítve

r=(360-alfa)/360*R

a kúpban van egy derékszögű háromszögünk

a sugár (r), a magasság (m) és a palást hossza.

a palást hossza megegyezik az eredeti sugárral.

azaz

r^2+m^2=R^2

m=gyök(R^2-r^2)

a kúp térfogata V=A*m/3

A=r^2*Pi

tehát

V=r^2*Pi*m/3

m-et behelyettesítjük

V=r^2*Pi*gyök(R^2-r^2)/3

r-t behelyettesítjük

V=((360-alfa)/360*R)^2*Pi*gyök(R^2-((360-alfa)/360*R)^2)/3

ennek kell megtalálni a maximum helyét

összevununk

X=(360-alfa)/360

V=(X*R)^2*Pi*gyök(R^2-(X*R)^2)/3

X^2*R^2*Pi*gyök(R^2(1-X^2))/3

R^3*2*Pi/3 * X^2*gyök(1-X^2)

gyakorlatilag az

X^2*gyök(1-X^2)

maximum helyét keressük. (X kisebb, mint 1, úgyhogy a gyökkel nincs baj)

innentől az a kérdés, hogy milyen maximum hely keresési módot tanultál eddig. :)

abból megvan a X és abból már könnyen megvan az alfa.

jó munkát :)