Hogyan lehet levezetni a megoldást?

Ha 0<q<1 akkor lim(N/q^(N-1), N->+inf) = +inf

tehát csak q>1 -re lesz véges az összeg!!!

felírjuk az első N tagját:

1 + 2/q + 3/q^2 + 4/q^3 + 5/q^4 + ... + N/q^(N-1) = SN

elosztjuk q-val:

1/q + 2/q^2 + 3/q^3 + 4/q^4 + ... + (N-1)/q^(N-1) + N/q^N = SN/q

az első egyenletből kivonjuk a másodikat:

1 + 1/q + 1/q^2 + 1/q^3 + 1/q^4 + ... + 1/q^(N-1) - N/q^N = SN - SN/q

átrendezzük:

1 + 1/q + 1/q^2 + 1/q^3 + 1/q^4 + ... + 1/q^(N-1) = SN - SN/q + N/q^N

elosztjuk q-val:

1/q + 1/q^2 + 1/q^3 + 1/q^4 + 1/q^5 + ... + 1/q^N = SN/q - SN/q^2 + N/q^(N+1)

az előző előttiből kivonjuk az előzőt:

1 - 1/q^N = SN - SN/q + N/q^N - SN/q + SN/q^2 - N/q^(N+1)

átrendezzük SN-re:

SN = (1 - 1/q^N - N/q^N + N/q^(N+1)) / (1 - 2/q + 1/q^2)

ha N->+inf és q>1 akkor a - 1/q^N - N/q^N + N/q^(N+1) tagok 0-hoz tartanak

így a megoldás:

S = 1 / (1 - 2/q + 1/q^2)

(remélem, nem rontottam el a számolást :-)