Hogyan lehet a legegyszerűbben bizonyítani a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a legegyszerűbben? (n darab tag esetén)

Van egyszerű (értsd: semmilyen errőlabüdöséletbennemhallottammég eszközt nem igénylő) bizonyítás is.

1.

Ha két pozitív szám összege konstans, akkor a szorzatuk annál kisebb, minél nagyobb az eltérés a két szám között.

Bizonyítás: a+b=S, ahol S rögzített, ekkor d=S/2-a helyettesítéssel a=S/2-d, b=S/2+d, a két szám szorzata a*b=(S/2-d)(S/2+d)=(S/2)^2-d^2. Innen látszik, hogy minél közeleb van egymáshoz a két szám, tehát minél kisebb a d, annál nagyobb a szorzatuk.

2.

Tegyük fel, hogy adott n darab számnak a számtani, illetve a mértani közepe. Tegyük fel, hogy a számok nem mind egyenlőek. Ekkor van olyan szám közöttük, amelyik kisebb, mint az A számtani közép, és van olyanis, ami nagyobb:

a<A<b

Az alábbi lépést hajtod végre: összébbtolod őket miközben a+b állandó marad, amíg az egyik szám el nem éri A-t.

Formálisan: az {a,b} számpárt kicseréled {A,a+b-A}-ra.

Így a két szám összege állandó maradt, viszont közeledtek egymáshoz, így a szorzatuk nőtt. Ugyanakkor most már eggyel több szám egyenlő A-val az n darab szám közül.

Ezt a lépést ismételve végrehajtod, míg végül az összes szám nem lesz A-val egyenlő.

Világos, hogy a számok összege nem változik a folyamat során, tehát a számtani közép végig A marad.

De mi történik ekkor a mértani középpel? Minden lépésben n-2 darab szám fix marad, a másik kettő "közeledik" egymáshoz. Így az első pontban leírtak alapján a szorzat folyamatosan nő.

A legvégén pedig a számtani közép egyenlő a mértani középpel (hiszen minden szám egyenlő), de mivel a számtani közép végig ugyanannyi volt és a mértani közép folyamatosan nőtt, eredetileg a mértani közép biztosan kevesebb volt. Ebből a gondolatmenetből az is látszik, hogy egyenlőség csak akkor van, ha minden szám már eleve egyenlő (vagyis egyetlen lépést sem kell végrehajtani).

Done.

Megjegyzés: ugyanezzel a módszerrel bizonyíthatsz tetszőleges (H<=G<=A<=N) közepek közti egyenlőtlenséget is.

Továbbá van a Jensen-egyenlőtlenséges bizonyítás, ami használ némi analízist ugyan, de sokkal általánosabb eredményt ad, és a lényeget is megragadja.