X^3 - (19/36) x + 5/36 = 0 megoldása?

A 36 miatt érdemes hatodokban gondolkodni. Ha x helyébe behelyettesítesz a/6-ot, akkor kis átalakítás után azt kapod, hogy

a^3-19a+30 = 0, és ennek egész megoldásait kell keresni. Ezeket megtalálhatjuk 30 pozitív és negatív osztói között, és kiderül, hogy a 2, 3 és -5 is megoldás.

Vagyis az eredeti egyenlet megoldásai:

-5/6, 2/6 (=1/3) és 3/6 (=1/2).

Szorzattá csak akkor tudnád bontani, ha tudnád a gyökeit.

Egyetemen tanítanak egy nagyon egyszerű módszert (nem is értem középsuliban miért nem), először is szorozzunk 36-tal:

36x^3-19x+5=0

Alakítsuk át az egyenletet így:

x(36x^2-19)=-5

Tegyük fel, hogy x egész, ekkor így nézne ki az egyenlet: egész*egész=-5, ami egész. Mivel a bal oldal egyik szorzótényezője az x, ezért azt mondhatjuk, hogy x osztója a -5-nek, mert ha osztanánk, akkor egész=-5/egész alakú lenne az egyenlet, és mivel x egész, a bal oldalon úgy lehet a két szám hányadosa egész, ha -5 osztója x.

Tehát x lehetséges értékei: -5;-1;1;5. Ha valamelyikre kijön behelyettesítés után 0=0, akkor az jó megoldás, innen már lehet szorzattá bontani.

Ha nem jön ki, ekkor azt jelenti, hogy nincs egész megoldása. Kérdés, hogy lehet-e racionális? Legyen x=p/q alakú, ahol p és q egészek, ekkor az egyenlet:

36*(p/q)^3-19*(p/q)+5=0. Először alakítsuk át úgy, mint az előbb: (p/q)*(36*(p/q)^2-19)=-5, ebből p*(36*(p/q)^2-19)=-5q, innen, mint az előbb kijött, hogy p osztója a -5-nek.

Most rendezzük az egyenletet q-ra: szorzunk q^3-nal: 36*p^3-19*p*q^2=-5q^3, amiben q van, balra megy, minden más jobbra: -19*p*q^2+5q^3=-36*p^3, emeljünk ki q-t: q(-19*p*q+5q^2)=-36*p^3. Az előző gondolatmenet miatt q osztója a -36-nak. Na most, hogy ez megvan, fel kell írni az összes p/q alakú törtet, ahol p osztja -5-öt és q osztja -36-ot, ezek között már reméljük, hogy van jó megoldás. Már fentebb is írtam, csak nem magyaráztam meg; oszthatóságnál itt az előjellel nem foglalkozunk, kellenek a negatív osztók is.

Általánosan: ha x=p/q, akkor p osztója a konstans tagnak, q osztója a legnagyobb hatványtag együtthatójának.

Ha ezek között sincs megoldás, akkor a függvény nem felbontható csak (x-irracionális)*... alakban (esetleg (x-komplex)*...-es tag is bekerülhet)

Remélem segítségedre lesz amit írtam ;)