Melyik különbség nagyobb? közelítés nélkül kell meghatározni gyök11-gyök5 vagy a gyök19-gyök11

A feladat többféleképp megoldható, pl:

emeljünk ki méndkét összegből gyök(11)-et, akkor:

gyök(11)*(1-gyök(5/11)) vagy: gyök(11)*(gyök(19/11)-1)

Mivel gyök(11) csak konstans szorzóként növeli a két értéket egyenlő mértékben, ezért elég a zárójelen belűli különbségeket vizsgálni:

1-gyök(5/11) vagy: gyök(19/11)-1

Növeljük mindkét tagot 1-el! Akkor:

2-gyök(5/11) vagy: gyök(19/11)

Látható, hogy mindkét tag pozitív, ezért vizsgálhatjuk a két kifejezés négyzetét is:

(49/11)-gyök(80/11) vagy: (19/11)

Most kisebbítjük mindkét kifejezést 19/11 -el, így a második tag 0 lesz:

(30/11)-gyök(80)/11 vagy 0

Most növeljük mindkét kifejezést gyök(80)/11-el:

30/11 vagy: gyök(80)/11

A két kifejezésről látjuk hogy poitív, ezért ismét vizsgálhatjuk a négyzetét:

900/121 vagy: 80/121

Ebből pedig látjuk, hogy a baloldali különbség a nagyobb.

Vagy így is rendezhetsz:

2*gyök(11) --- gyök(5)+gyök(19) /// Mindkét oldal pozitív, négyzetre emelhetsz:

4*11 --- 5 + 2*gyök(95) + 19 /// Rendezel:

20 --- 2*gyök(95)

10 --- gyök(95) /// Megint négyzetre emelsz, és kész, a bal oldal a nagyobb:

100 > 95.

Megjegyzés: ilyen levezetésnél nagyon vigyázni kell arra, hogy a lépések megfordíthatóak legyenek.