Hogyan lehet megoldani?

1. Ez a kettő közül a könnyebbik. Ha 5 nyúlugrás=2 agárugrás akkor 1 agárugrás=2,5 nyúlugrás. Akkor ezek szerint a nyúl egy ugrással 10 ugrásnyit halad, míg az agár 7x2,5=17,5 egységet. Innentől a fizikához hasonlóan relatív sebességgel kell számolni ami 17,5-10=7,5. Tehát minden egyes körben az agár 7,5 ugrásnyit dolgoz le a 90 ugrásnyi hátrányából. Így 12 kör kell, hogy utolérje a nyuszit (90/7,5=12).

2. Ez a nehezebbik, főleg 9.-es ismeretekkel megcsinálni. A megoldáshoz szükség van három tételre, amit elvileg már tanulnotok kellett. Az egyik a Thales tétel (ha nem tudod még wikipédia). A másik, hogy a súlyvonalakat a súlypont (tehát metszéspontjuk 2:1 arányúra osztja). A harmadik pedig az, hogy egy derékszögű háromszög átfogójának felezőpontja, a körül írt kör középpontja.

A háromszöget a következőképpen kell megszerkezteni: Felveszünk egy pontot, ami körül az átfogóhoz tartozó súlyvonal hosszával körzővel (tehát a kör sugara a súlyvonal hossza lesz) kört szerkeztünk. Ezen a ponton át megrajzolunk egy átmérőt (ami az átfogó lesz a háromszögben). Innen felhasználjuk a súlyvonalak harmadolásáról szóló tételt( a súlyvonal kisebbik, egyharmad része esik közelebb az oldalhoz, a nagyobbik darab a csúcshoz). A háromszög középpontjába tesszük a körzőt és az átfogóhoz tartozó súlyvonal 1/3 hosszával kört rajzolunk. Végül az átfogó egyik végpontjából a befogóhoz tartozó súlyvonal 2/3 hosszával szintén kört rajzolunk, így az előbb rajzolt és ennek a körnek a metszéspontjában lesz a súlypont. A súlyponton és a nagy kör középpontján(az átfogó felezőpontján) keresztül egyenest húzunk, és ez ahol elmetszi a legelösszőr rajzolt legnagyobb kört, ott lesz a 3. csúcs.

A válasz tehát mindig megszerkeszthető egy ilyen háromszög.

"A válasz tehát mindig megszerkeszthető egy ilyen háromszög."

Ez így ebben a formában nem helytálló. :-)

Ha valamelyik befogóhoz tartozó súlyvonal S, az átfogóhoz tartozó c/2, akkor a szerkesztés módjából adódik a következő egyenlőtlenség:

c/3 < 2S/3 < 2c/3

Egyszerűsítés után marad:

c/2 < S < c

vagyis csak akkor szerkeszthető meg a háromszög, ha a megadott súlyvonal a fenti határok között van.

DeeDee

*********