Mit jelent az fogalom, hogy "számszomszéd"?

Az százas számszomszéd például a számhoz legközelebbi két százas.

Mondhatnánk úgy is, hogy százasokra kerekítva felfelé, és lefelé.

A számok egyes szomszédjai a kettő, hozzá legközelebb lévő, nála kisebb és nagyobb egész számok.

A számok tízes szomszédjai a kettő, hozzá legközelebb lévő, nála kisebb és nagyobb tízes, egész számok.

A számok százas szomszédjai a kettő, hozzá legközelebb lévő, nála kisebb és nagyobb százas, egész számok.

Vagyis 5700 százas számszomszédja az 5600 és az 5800.

Szerintem jó dolgot írtál, Kérdező. Az Általad említett elv - valamilyen szép és nyilvánvalóan ,,természetes módon'' érvényesülő tulajdonság ,,megmaradása'' fontos elv a matematikában. (Permanencialv)

A számszomszédok fogalma szerintem főleg kétféle (esetleg több) kontextusban jöhet elő.

Egyrészt valami lépcsős függvény definiálásához lehetne használni, esetleg valamiféle számelméleti tételeket lehet kiépíteni vele, minderre az vonatkozik szerintem, amit mondtál.

A másik, gyakoribb kontextus: az alsós matekban, a pedagógiai gyakorlatban arra ,,használják'', hogy a tízesátlépés nevű műveletsort lépésekre bontva megismertessék a gyerekekkel. (Egyszerűség kedvéért beszéljünk mostantól a tízes szomszédokról, és vigyük át a kérdésedet arra, hogy mi a 20-nak a két tízes szomszédja.)

Azonban a tízesátlépés a kerek számoknál ,,nem játszik'', azoknál egyszerűen örülünk, hogy megússzuk az egyesek helyén végzett számítási munkát. Gondolom ezért van a kérdés ,,elkenve'': nem a permanenciaelv bemutatása, hanem egy gyakorlati művelet elvégzése a cél, és ebből a szempontból épp a kerek számok számszomszédjai érdektelenek. Lehetne undefinied-nek tekinteni, vagy alkalmazni az Általad említett sémát.

De a 10 < [20] < 30 sémának is megvan a maga logikája: ,,nagyobb skálára áttérés'', mint amikor a kisléptékű térkép helyett egy nagyléptékűt veszünk, ez viszont szerintem tulajdonképpen már egy másik fogalom, ami csak a kerek számokra értelmezhető, és amit csak ,,véletlenül'' hívnak szintén tízes számszomszédnak, de valójában érdemes lenne valami enyhén különböző nevet kitalálni, hogy a két különböző megközelítésú fogalom ne keveredjék.

Egyébként ha a számszomszéd fogalmát úgy próbálom meg természetes módon általánosítani, hogy ,,alsó, illetve felső számszomszéd keresésének azt a műveletet nevezzük, amit természetes módon és öntudatlanul használunk a tízesátlépésnél, akkor szerintem majdnem éppen a Te álláspontod nyer megerősítést.

Nézzünk csak: 24 + 7 = tízesátlépéssel megkeressük a felső számszomszédot = 24 + 6 + ... (egyúttal bontjuk a 7-et is a 6-os alapján) = 14 + 6 + 1 = 21

Alsó számszomszéd természetes alkalmazására példa (tízesátlépés kivonáskor):

24 - 7 = megkeressük az alsó számszomsézédot 24 - 4 - ... (egyúttal megint bonjuk a kivonandót) = 24 - 4 - 3 = 17

Szóval:

24 + 7 = 24 + 6 + 1 (30-hoz mint felső számszomszédhoz ,,passzintottuk''), tehát 24 felső számszomszédja 30

24 - 7 = 24 - 4 -3 (20-hoz mint alsó számszomszédhoz ,,passzintottuk''), tehát 24 alsó számszomszédja 20

Most nézzünk kerek számot:

20 + 7 = 20 + 0 + 4

20 - 7 = 20 - 0 - 4

Erőltetve azt mondhatnám, hogy alsó és felső számszomszédja önmaga, de igazából egyszerűen nincs szükség tízesátlépésre.

Szerintem ez egy olyan fogalom, amit ugyan a felsős matekban lehetne valahogy szép módon kiterjeszteni, az alsós matekban viszont a kerek számokra igazából érdektelen. Azt én sem tudom, hogy definiálják-e valahogy a gyakorlatban, és ha van ilyen, akkor annak van-e mélyebb oka, vagy csak elterjedt mint szokás, amibe ha belemennénk, akkor éppilyen kérdések merülnének fel amit felvetettél.

Lehet, hogy az a számszomszéd-fogalom, amit kárhoztatsz, az tényleg valami összvér dolog, amibe két különböző (összeegyeztethetetlen) megközelítés/fogalom van belepréselve, amit jobb lenne különvenni. De a gyakorlatban gondolom ez azért maradhatott így, mert a kerek számokra úgysem végzünk tízesátlépést, és ezért a dolog nem tudott ,,kibukni'' elég feltűnően a mindennapos gyakorlatban.

Szóval szerintem valamelyik oktatásmódszertani tanszéken lehetne erre jó választ kapni.

Sajnos nem látom én úgy át az anyag felépítését, hogy válaszolni tudjak.

Ha mégis meg kéne próbálnom valamit, akkor én azt sejtem, hogy:

3 számszomszéd fogalom van:

1) Tízesátlépéses számszomszéd-fogalom. A kerek számokra nincs értelmezve (undefined), a többiekre meg : 20 < [24] < 30

2) ,,Léptékes'' számszomszéd fogalom: ez meg pont fordítva, mint az előbb: csak a kerek számokra van értelmezve, a nem-kerekekre undefined. 10 < [20] < 30

Ez felelne meg a legjobban annak, amikor különöböző ,,léptékű'', skálákat nézünk.

3) ,,Számelméleti'', ,,algebrai'' számszomszéd-fogalom: ez lenne az, amit a permanencia-elv alkalmazásával te kihoztál, és valóban, a számélmeleti jellegű tételek közül az oszthatósági, maradékos feladatokhoz meg ez paszsolna: 20 <= [20] < 30.

Eddig amit olvastam (nem sokat olvastam) abból a legjobban az Apáczai Kiadó ,,Harmadik matematikakönyvem'' első kötetében láttam leírva e fogalmakat: a 48. oldalon ,,Számszomszédok és kerekített értékeik'' címen. Itt a százas és a tízes számszomszédok mellett az ,,egyes'' számszomszédok is le vannak írva.

A számszomszéd-fogalom három különböző jellegű feladatkontextusban is fel vannak használva:

1) különböző léptékű skálákon való továbbszámlálásra

2) kerekítés (tízesekre, százasokra),

3) tízesátlépés (és általánosításai).

A zavaró számomra is az, ami Te is kimutatsz: a három kontextusra nem egészen ugyanaz a fogalom illik rá.

Én ezért valahogy módosítanám a téma belső elemzését, úgy venném külön, hogy valójában van **szigorú** számszomszéd, és van külön **megengedő** számszomszéd-fogalom. Nem kerek számoknál nincs különbség a két fogalom közt, de kerek számnál elválik a két fogalom:

60-nak a szigorú alsó számszomszédja 50

60-nak a megengedő alsó számszomszédja 60 (!!!), ahogy Te is írod.

70-nak a szigorú felső tízes számszomszédja 80

60-nak a megengedő felső tízes számszomszédja 60 (!!!)

Nem-kerek számoknál nincs fogalmi különbség, pl. 17-nek a felső tízes számszomszédja a 20 (mindegy, szigorú-e vagy megengedő értelemben), és ugyanúgy nincs különbség az alsó tízes számszomszédnál sem (10).

A dolog haszna:

A tízes, százas skálán való továbbszámolós feladatoknál kimondatlanul is valójában a **szigorú** számszomszéd fogalmát használjuk (1260 után 1270, majd 1280, 1290, 1300, 1310, 1320...). Itt látszik, hogy nem a megengedő számszomszéd fogalmat használjuk, mert az kerek számról nem lép tovább.

A kerekítési és tízesátlépési feladatoknál viszont meg kimondatlanul is valójában a **megengedő** számszomszéd fogalmát használjuk:

217 tízesre kerekítve 220,

de 220 tízesre kerekítve marad 220. Utóbbi esetben épp a továbblépés ,,kimaradása'' lényeges.

Tízesátlépésnél, a kerekítési példához hasonlóan, szintén a megengedő számszomszéd fogalmát használjuk (akár kimondatlanul is), nem pedig a szigorút:

17 + 5 = 17 + 3 + 2 = 20 + 2 = 22,

de 20 + 5 = 20 (+ 0) + 5 = 25. (!!! Nem ugrunk fel a 30-hoz!!!)

Látható, hogy valójában itt is megengedő, nem pedig szigorú számszomszéd-fogalom bújik a háttérben.

Az Általad említett tételnél meg az a lényeg, hogy ott pedig egyszerre mindkét fogalom szerepet kap (a szigorú számszomszéd-fogalom is, meg a megengedő is). A tétel így szólna leírva:

Tetszőleges x egész szám szigorú felső tízes számszomszédja és megengedő alsó tízes számszomszédja közti különbség épp 10.

szfₜ(x) - maₜ(x) = 10

* példa nem kerek x-re, pl. x = 17-re:szfₜ(17) - maₜ(17) = 20 - 10 = 10,

* példa kerek x-re, pl x = 20-ra:

szfₜ(20) - maₜ(20) = 30 - 20 = 10

tehát így az Általad említett tétel is megőrizhető.

Ugyanilyen tétel mondható ki értelemszerűen a százas, ezres számszomszédokra,

Tetszőleges x egész szám szigorú felső százas számszomszédja és megengedő alsó százas számszomszédja közti különbség épp 100:

szfₛ(x) - maₛ(x) = 100

sőt, ami még érdekesebb, az egyes számszomszédokra is:

Tetszőleges x egész szám szigorú felső egyes számszomszédja és megengedő alsó egyes számszomszédja közti különbség épp 1:

szfₑ(x) - maₑ(x) = 1

itt látszik, hogy a megengedő egyes számszomszéd nem más, mint maga a szám, a szigorú egyes számszomszéd pedig nem más, mint a szám rákövetkezője/megelőzője. Ez jól beleillik az eddigi képbe.