Valószínűség-számítás: Egy urnában 1 fehér,1 piros és 1 kék golyó van.5-ször húzunk a urnából úgy, hogy minden húzás után visszatesszük a kihúzott golyót. Mekkora a valószínűsége, hogy a kihúzott kék és piros golyók száma =?

Analóg feladvány. Egy urnában három golyó van, rajutk az 1, a 2 és a 3 szám. Kihúzol egyet, leírod, majd visszateszed, így alkotva egy ötjegyű számot. Pl.:

11111

11112

11113

11121

11122…

…

Összesen hány variáció van? 3*3*3*3*3 = 3^5 = 243

Ebből kell kiválasztani azokat, ahol mondjuk a kettesek száma megegyezik a hármasok számával.

I. A kettesek és hármasok száma = 0

Ebből egy eset van: 11111

És csak egyféleképpen lehet ezt a számot kihúzni, tehát 1 ilyen eset van.

II. A kettesek és hármasok száma = 1

Ilyen például: 11123

De ilyen ugyanennek a számnak az összes permutációja.

Lásd: Ismétléses permutáció: [link]

Tehát ilyenből 5! / (3!*1!*1!) = 20 eset van.

III. A kettesek és hármasok száma = 2

Ilyen pl. az 12233, illetve ezen szám összes permutációja.

Ilyen esetből 5! / (1!*2!*2!) = 30 eset van.

* * * * *

Tehát 243 különböző módon tudunk kihúzni öt golyót, és ezek mindegyike azonos eséllyel történik meg. Ebből (1+20+30)=51 eset tesz eleget annak a feltételnek, hogy a piros és kék golyók száma megegyezik. Így ennek az esélye:

51:243 = 17:81 = 20,987654%

Mivel a kihúzott golyót mindig visszateszed, ezért a feladat megközelíthető másképpen is, méghozzá binomiális eloszlással. 2xSü már pontosan felvázolta az egyes eseteket. Binomiális eloszlás lásd pl. Wikipédia :)

I.ESET: 0 kék (és így 0 piros) lesz -> mindegyik kihúzott golyó fehér. Mivel P(fehér)=1/3 és P(kék vagy piros)=2/3, ezért P(kék=piros=0)=(5 0)*(2/3)^0*(1/3)^(5-0)=1/3^5

II. ESET: 1 kék (és így 1 piros) lesz -> P(kék=piros=1)=(5 1)*(2/3)^1*(1/3)^(5-1)=10/3^5

III. ESET: 2 kék (és így 2 piros) lesz -> P(kék=piros=2)=(5 2)*(2/3)^2*(1/3)^(5-2)=40/3^5.

Ezeket összeadva kapod a keresett valószínűséget, azaz P(kék=piros)=51/243, ami valóban ~20.99%.