Hogy lehet megszerkeszteni "az egység ismeretében" a gyök alatt 7 hosszúsági szakaszát?

Pl.

Csinálsz egy derékszögű háromszöget, egyik oldala 1, a másik is 1.

Az átfogó akkor gyök(2)

Csinálsz egy másik derékszögű háromszöget, egyik oldala 2, a másik 1.

Az átfogó akkor gyök(5)

Csinálsz egy harmadik derékszögű háromszöget: gyök(2) és gyök(5) befogókkal.

Az átfogója ennek gyök(7) lesz.

egyik oldal gyök(5) másik

A kérdés szépen: Hogyan lehet az egység hosszú szakasz ismeretében megszerkeszteni egy gyök 7 hosszúságú szakaszt?

Hogy ez miért a racionális irracionális témakörben van, mikor egy sima geometria feladat azt nem vágom.

Amúgy a derékszögű háromszögre vonatkozó magasságtétel alapján. Ha a derékszögű háromszög befogói a és b, akkor a magassága m = gyök(ab). Így csak annyi a dolgod, hogy megszerkeszted egy olyan derékszögű háromszög magasságát, amely befogóinak szorzata 7 (pl a=1 és b=7).

Mielőtt bármi mást írnék, felhívom a figyelmedet, hogy a második válaszoló rosszul emlékszik a magasságtételre!

Ugyanis a derékszögű háromszög magassága nem a befogók, hanem az átfogóhoz tartozó magasság által felosztott átfogó két részének mértani közepe, vagyis

m = √c1*c2

Alapvetően kétféle módszerrel célszerű az ilyen feladatokat megoldani:

1. A Pithagorasz tétel segítségével

2. A derékszögű háromszögben érvényes magasság-tétel alapján

1. módszer

A szerkesztendő gyökmennyiség számát fel kell írni két szám összegeként vagy különbségeként, mely számok közül legalább az egyik négyzetszám, a másik pedig egy könnyen szerkeszthető mennyiség. De sok olyan szám van, ami két négyzetszám összegére vagy különbségére bontható.

Például legyen a feladat √13 szerkesztése.

Az alapszám prímszám, de felírható

13 = 9 + 4 (mindkettő négyzetszám)

vagy

13 = 16 - 3 (csak az egyik négyzetszám)

formában is.

Az első változat a Pithagorasz tételnek megfelelő formában

(√13)² = (√9)² + (√4)²

vagyis a √13 egy √9 = 3 és √4 = 2 egységnyi befogójú derékszögű háromszög átfogója.

A második esetben

(√13)² = (√16)² - (√3)²

vagyis ekkor √13 egy √16 = 4 átfogójú és √3 befogójú derékszögű háromszög másik befogója.

Vagy a √20 esetén

20 = 16 + 4

vagy

20 = 36 - 16

Ebben az esetben mindkét szám négyzetszám, így a szerkesztésük a fentiek alapján könnyen elvégezhető.

A feladatban szereplő √7 esetén

7 = 4 + 3 (√7)² = (√4)² + (√3)²

vagy

7 = 16 - 9 (√7)² = (√16²) - (√9)²

A fentebb írtak alapján remélem nem gond a szerkesztés. :-)

2. módszer

A magasság tételt már a bevezetőben leírtam, ennek megfelelően a szerkesztendő szakasz számát két tényező szorzataként kell felírni:

7 = 1*7

7 = 2*3,5

Ennél a módszernél a szerkesztendő szám osztói adnak útmutatást, de nem kell feltétlen egész számokkal dolgozni.

Az adott feladat alapján lehet eldönteni, melyiket célszerű alkalmazni.

Elvileg mindegyik korrekt, de például egy nagyobb szám esetén - legyen ez 37 - az 1*37 felbontással a magaságot meghúzva nagyon bizonytalan a körívvel való metszéspont kijelölése.

Az alábbi rajzon mindegyik módszerre találsz példát, ha valami nem világos, írj nyugodtan.

Bár a rajzon √6 szerkesztése a feladat, remélem nem lesz gond √7 esetére alkalmazni.

[link]

DeeDee

**********