Az alábbi differenciál egyenletet, hogy oldom meg? y'- (2/x) *y=x^2+1

Rosszul írtam be:

[link]

Helyes az eredmény, amit kiadott, kiszámítottam én is közben:

Többféleképp megoldható egyébként.

Az egyenlethez tartozó homogén egyenlet ugye:

Y'-2Y/x=0

A változókat szétválasztva:

dY/Y=2dx/x, tehát:

Y=Cx^2

Az y0 partikuláris megoldást az állandó variálásának módszerével keressük meg:

y0=C(x)x^2, ezért:

y0'=C'(x)x^2+2C(x)x

Visszaírva az eredeti egyenletbe kapjuk hogy:

C'(x)x^2=x^2+1

Ebből:

C(x)=x-(1/x)

tehát:

y0=C(x)x^2=x^3-x

és az általános megoldás:

y=Y+y0=x^3+Cx^2-x

Hát ha leírod, hogy jött ki az eredményed, akkor esetleg megmondom, hol a hiba.

Én egyébként így látszólag nem tudom, milyen változót kéne bevezetni, mert ez a diffegyenlet tipikusan:

y'+P(x)y=Q(x) alakú, tehát lineáris, inhomogén, és elsőrendű.

Ezt alapvetően ugye 3 módszerrel szokás megoldani.

A próbafüggvény módszer alapból kiesik, mert nem állandóegyütthatós.

Az első módszer, amit már leírtam, az állandó variálásával.

A második módszer, integráló tényezővel, ami épp

e^(-2integrál(dx/x))=1/x^2.

Tehát gyakorlatilag az egyenleted bal oldalán az

y/x^2 kifejezés teljes differenciálja van, amiből már teljesen világos, hogy:

y/x^2=x-(1/x)+C.

és x^2-el beszorozva:

y=x^3-x+Cx^2

A 3. módszer, amikor az y általános megoldást y=uv szorzat alakban keressük, ekkor:

y'=u'v+uv'

Ezt behelyettesítve az eredeti diffegyenletbe:

u(v'-2v/x)+(u'v-x^2-1)=0

Ez akkor áll fenn, ha:

v'-2v/x=0, és:

u'v-x^2-1

Az első egyenletből v=x^2, ezt beírva 2. egyenletbe:

u'=1+1/x^2, amiből:

u=x-(1/x)+C

És y=uv volt, tehát:

y=x^3-x+cx^2.

Tehát a 3féle módszerrel kapott megoldás egyezik, tehát nagy valószínűséggel jók a megoldások.

Gyönyörűen látható egyébként, hogy ez utóbbi két módszer, de különösen a második jóval gyorsabb és praktikusabb, mint az első.

Aki tud jobb, egyszerűbb megoldást, kiváncsian várom.