Mi lehet a megoldás? Valószínűségszámítás - várható érték.

Józan parasztésszel megközelítve a dolgot a kérdés az, hogy mi a legvalószínűbb:

Az, hogy mindenki más emeleten száll ki, vagy az, hogy lesz-e olyan emelet, ahol esetleg ketten szállnak ki (a többi eset már „ránézésre“ is valószínűtlenebb, mint a második). Vagyis ez a két eset közt kell dönteni (a 6 meg az 5 között).

Próbáljuk meg számokkal kifejezni az egyes eseteket. Jelöljük egyes számjeggyel, ha az első emeleten száll ki valaki, kettessel ha a második és végül nullával, ha a tizediken. Vegyük pl. azt az esetet, amikor az első az első emeleten száll ki, a második a másodikon, a harmadik a harmadikon és így tovább. Ekkor ezt kapjuk:

123456

Ha mindenki a tizediken, akkor: 000000

Mivelhogy tíz emelet van és hat ember az összes lehetőségek száma 10^6 = 1000000

Ebből az a két eset érdekes, amikor minden számjegy különböző, ill. valamelyik két számjegy megegyezik.

(eddig jutottam)

Nézzük azt az esetet, amikor mind a hat ember különböző emeleten száll ki. Ekkor az első 10, a második 9, a harmadik 8, a negyedik 7, az ötödik 6 és a hatodik 5 emelet közül "választhat".

Abban az esetben, ha a hat ember közül van kettő, amely ugyanarra az emeletre kerül: Az első ugyancsak 10, a második 9, harmadik 8, a negyedik 7, ötödik 6 és a hatodik ember ugyancsak 5 emeleten szállhat le, hisz ebben az esetben a hatodik embernek az 5 olyan emelet közül kell választania, ahol már van ember. Az első esetben, ahol mind a hat ember különböző emeletre szállt le, a hatodik ember ugyancsak 5 emelet közül választhatott, hisz 5 üres és 5 foglalt emelet volt.

Ebből látszik, hogy annak az esélye, hogy a lift 5-ször vagy 6-szor áll meg, ugyanakkora. Az könnyen belátható, hogy annak az esélye, hogy kevesebbszer áll meg, kisebb.

Írjuk le matematikailag:

Ha mindenki más emeleten száll ki, akkor az összes lehetőségek száma:

10*9*8*7*6*5 = 151.200

Ha ketten ugyanazon az emeleten, de többi más emeleteken:

1) Az első kettő ugyanazon az emeleten száll ki és mind a ketten az elsőn, akkor:

11abcd

a,b,c,d = 2,3,4,5,6,7,8,9,10, vagyis az összes lehetőség száma: 9*9*9*9

2) Ha figyelembe vesszük, hogy nemcsak az első, hanem a további emeleteken is kiszállhatnak, akkor ez további 10 lehetőséget jelent. Vagyis az összes lehetőség száma:

9*9*9*9*10

3) Most számoljuk ki azt, hogy hányféleképpen lehet az első emeleten kiszállni:

11abcd

1a1bcd

1ab1cd

1abc1d

1abcd1

a11bcd

a1b1cd

a1bc1d

a1bcd1

ab11cd

ab1c1d

ab1cd1

abc11d

abc1d1

abcd11

Ez összesen: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

Most vonjuk össze a 2) és a 3) pontot (ezzel megkapjuk az összes lehetőséget):

9*9*9*9*10*15 = 984.150

Tehát az, hogy egy emeleten ketten szállnak ki az valószínűbb, mint az, hogy mindenki más emeleten száll ki.

“a,b,c,d = 2,3,4,5,6,7,8,9,10, vagyis az összes lehetőség száma: 9*9*9*9”

Itt hiba van, helyesen: 9*8*7*6, mert a többi csak azokon az emeleteken szállhat ki, ahol még nem szállt ki senki

2) Ha figyelembe vesszük, hogy nemcsak az első, hanem a további emeleteken is kiszállhatnak, akkor ez összesen 10 lehetőséget jelent. Vagyis az összes lehetőség száma:

9*8*7*6*10

Most vonjuk össze a 2) és a 3) pontot (ezzel megkapjuk az összes lehetőséget):

9*8*7*6*10*15 = 453.600

Még így is ez jött ki többnek. Vagyis az, hogy egy emeleten ketten szállnak valószínűbb, mint az, hogy mindenki más emeleten száll ki.

Nem garantálom h helyes, de van egy megoldásom. Aki nem ért egyet, szóljon.

-6 helyen áll meg a lift, akkor az első kilépő 10, a második 9, a harmadik 8 (... stb.) emeleten léphet ki.

Ergo 10*9*8*7*6*5=151 200 lehetőség

-5 helyen áll meg: valahol ketten, a többi helyen 1-1-en szállnak ki. A kettes 10 emeleten szállhat ki. Ők a 6-ból választódnak (kettőből első 6 ember lehet, második a többi 5). A többiek 9, 8, 7, 6 emeleten szállhatnak ki.

Ergo 10*6*5*9*8*7*6=907 200 lehetőség.

-4 helyen áll meg: valahol 3-an, máshol 1-1-en ugranak ki, vagy két helyen 2-2-en, máshol 3-3-an szállnak ki. Első esetben a fenti logika szerint 10 emeleten lehet a hármas, az ő kiválasztásuk 6*5*4 féleképpén lehetséges. A többiek egyesével szállnak ki. Másik lehetőség szerint 10 helyen léphet ki az első páros, kiválasztásukra 6*5 mód adódik, a második páros (4*3 választási lehetőség) 9 helyen, a többiek 8, 7 emeleten léphetnek ki.

Ergo: 10*6*5*9*8*7+10*6*5*9*4*3*8*7=2 419 200 lehetőség

-3 helyen áll meg: egy helyen négy, másutt 1-1, vagy 3, 2, 1 kilépő, vagy 2-2 mindenütt. A fenti logika szerint számítandók a valószínűségek, ez a 3 eset összeadandó.

Ergo: 10*6*5*4*3*9*8+10*6*5*4*9*3*2*8+10*6*5*9*4*3*8*2*1=1 296 000

2 helyen áll meg: Akkor a kilépők eloszlása lehet 5-1, 4-2, 3-3. A fenti logika szerint számítjuk a kilépőket és lehetőségeket.

Ergo: 10*6*5*4*3*2*9+10*6*5*4*3*9*2+10*6*5*4*9*3*2=19 4400

1 helyen áll meg: Pofon egyszerű, az elsőn, vagy a másodikon, vagy a harmadikon... 10 lehetőség

Ergo 10=10 :)

Így az összes lehetőséget ezek összeadásával kapjuk:

4 968 010

A különböző valószínűségeket az adott eset/összes eset hányados adja.

Számolásaimat egy excel file-ban végeztem, innen letölthetitek:

*****

Előző vagyok

A konklúzió kimaradt :)

A legvalószínűbb (48,7%) h 4-szer áll meg a lift.

Én nem értek egyet.

„-5 helyen áll meg: valahol ketten, a többi helyen 1-1-en szállnak ki. A kettes 10 emeleten szállhat ki. Ők a 6-ból választódnak (kettőből első 6 ember lehet, második a többi 5). A többiek 9, 8, 7, 6 emeleten szállhatnak ki.

Ergo 10*6*5*9*8*7*6=907 200 lehetőség.“

Na, akkor ezt vizsgáljuk meg:

a kettesek a következőképpen jöhetnek létre:

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2,3

2,4

2,5

2,6

3,4

3,5

3,6

4,5

4,6

5,6

Ez összesen: 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

A kettes 10 emeleten szállhat ki (ahogy Te is mondod), vagyis: 15*10 – féleképpen szállhat ki kettes

A következő kiszállónak, vagyis a harmadiknak már csak 9 emelet marad, a negyediknek már csak 8, az ötödiknek 7 és a hatodiknak 6, tehát összegezve (ez is már egyezik a Te alternatíváddal):

9*8*7*6

Ergo: 15*10*9*8*7*6 = 453.600

Akkor most ennek nem szabadna jónak lenni, ha a Te megoldásod a jó, vagyis ez valahol hibás. Hol? Na erre lennék kíváncsi, ugyanis egyedül az eltérés a Te számításod és az enyém között, abban van, hogy a kettesek hányféleképpen jöhetnek létre, nálam ez 15, nálad meg 6*5=30.

(a többi lehetőséggel nem foglalkoztam, egyelőre maradjunk kezdetnek ennél az egynél)