Hogyan kellene megcsinálni az alábbi feladatokat? (Arany Danis példák)

1. Szerkesszük meg a vázlatrajzot, ahol a P pont az ABC háromszög B és C csúcsa közötti köríven helyezkedik el. Ekkor láthatjuk, hogy az 'a' (azaz AP szakasz) a leghosszabb. Az 'a' szakasznak akkor maximális a hossza, amikor az pont a kör átmérője, azaz hossza: 2. Ezt igazolhatjuk Thálesz körét felhasználva, vagy úgy, hogy bármely húr rövidebb, mint az átmérő. Az ABPC négyszög húrnégyszög, mivel minden oldala a körülírt kör húrja. Bármely húrnégyszögben az átlók szorzata egyenlő a szemközti oldalak szorzatának négyzetével. (Ptolemaiosz tétel) Legyen az eredeti szabályos háromszög bármely oldala: x (ez pont gyök 3 hosszúságú, de ez tulajdonképpen lényegtelen) A két átló tehát.: a és x. A két szemközti oldal.: b és x, c és x. A tételt felírva.: ax=bx+cx,

x-el leosztva.:

a=b+c :) Azt előzőleg leírtuk, hogy az 'a' hosszának maximuma 2. Tehát a b+c összeg maximuma is kettő. A bc szorzat maximuma 1-nek adódik, ami pont akkor teljesül, ha a P pont a B és a C pont között körív felénél található, azaz az AP szakasz az átmérő. Így az abc szorzat maximuma 2. :) próbáltam röviden, de viszonylag érthetően leírni, nem tudom ábra nélkül mennyire befogadható... :(

Még majd leírom a többit is :)

A 2. feladatnál az egyenletekkel kell bűvészkedni. Nem igazán tudom már, hogy pontosan hogyan csináltam, de az biztos, hogy az első egyenletből kifejeztem a z-t, aztán behelyettesítettem a 2.-ba, össze vissza alakítottam, és megkaptam azt, hogy xy(x+y)=-30 :) (ebből már találgatással is ki lehet hozni az eredményt) Ezután elővettem a 3. egyenletet is, és végül azt hoztam ki, hogy 1/x+y egész szám, azaz x+y=1. :)Ebből következik, hogy xy=-30, és innen már gyorsan megvan, hogy 6, és -5 a két szám, a harmadik szám, pedig így 0. :) És elvileg ez jó eredmény.

3. A 14 számból 7 páros, 7 páratlan, tehát azt kell megnéznünk, hogy lehetséges-e, hogy van olyan egymást követő 7 db páratlan szám, amely mind osztható 3-al, 5-el, 7-el vagy 11-el. Ezek közül max. 1 szám osztható 11-el, max 1 szám osztható 7-el, max 2 db osztható 5-el és max 3 db osztható 3-al. Tehát ideális esetben (tehát, ha minden szám csak az egyikkel osztható) jöhet ki. Az öttel osztható számok, csak az 1.-11., 2.-12., 3.-13., 4.-14. helyen állhatnak a 14 szám közül. A hárommal oszthatók pedig csak az 1.-7.-13. vagy a 2.-8.-14. helyen állhatnak. :) Ez azonban ellentmondás, mert nem létezik olyan eset, amely mind a két szám feltételeinek megfelelnek.

Vázlatosan ennyi, kíváncsi vagyok, hogy mennyire találjátok jónak :)