Mértani sorozatos kérdés. Lent (? )

Nem hiszem, hogy lehetne egy minden esetre alkalmas módszert adni. Mindig az adott feladat határozza meg, mit lehet, mit célszerű csinálni.

Ami a példádat illeti.

Nem mindig, de sok esetben hasznos lehet a középső elemhez viszonyítva felírni a tagokat, ha azonos távolságra levő elemekről van szó.

A sorozat 5 tagja

a1, a2, a3, a4, a5

Az a3-mal kifejezve

a₁ = a₃/q²

a₂ = a₃/q

a₃ = a₃

a₄ = a₄*q

a₅ = a₃*q²

Ha szükséges, apró trükkökkel el lehet érni, hogy a 'q' csak páros hatványon szerepeljen, akkor a q² = x helyettesítéssel a feladat egyszerűsíthető és megoldható.

A feladathoz a következő egyenletrendszer írható fel a fentiek alapján

a₃/q² + a₃ + a₃*q² = A

a₃/q + a₃*q = B

ahol

A = 42

B = 20

A törteket eltüntetve

(1) a₃ + a₃*q² + a₃*q = A*q²

(2) a₃ + a₃*q² = B*q

Első trükk: a második egyenletet négyzetre emeljük, az első változatlan

a₃ + a₃*q² + a₃*q = A*q²

a₃² + 2*a₃²*q² + a₃²*q = B²q²

Második trükk: most a második marad változatlan és az elsőt megszorozzuk a₃-mal

a₃² + a₃²*q² + a₃²*q = a₃*A*q²

a₃² + 2*a₃²*q² + a₃²*q = B²q²

A másodikból kivonjuk az elsőt

a₃²*q² = q²(B² - a₃*A)

Egyszerűsítés és rendezés után

a₃² + a₃*A - B² = 0

a₃² + 42a₃ - 400 = 0

Ennek gyökei: 8 és -50

A jó gyök

a₃ = 8

A (2) egyenletből

8q² - 20q + 8 = 0

Egyszerűsítés után

2q² - 5q + 2 = 0

A gyökök: 2 és 1/2

A jó gyök az első, így

q = 2

=====

Azért mutattam ezt a megoldást, mert két húzással el lehetett kerülni a magasabb hatványokat, és helyettesítést sem kellett alkalmazni. Ezt az egyenletek felépítése miatt lehetett megtenni, általánosan nem érvényes a módszer.

Annyit jegyeznék még meg, hogy az esetek többségében célszerűbb az egyenlő együtthatók módszerét használni a behelyettesítés helyett.

Remélem sikerült segítenem.

DeeDee

***********