( (3^ (1/2) ) -3i) ^2011 alegbrai és trigonometrikus alakja?
x^4=1+i 4db gyöke?
Mind a két feladat komplex számos természetesen, sajnos nem boldogulok velük, rá kéne' érezni, de nem megy, valaki segítene?
algebrai alakja gyok(3)-3i, azaz a = gyok3; b = -3
trigonometriai alak átírásához először ki kell számolni a sugarat, ez sima pitagorasz tétel
r = gyok((gyok3)^2+(-3)^2) = gyok(12)
Mivel a valós része a cos és a képzetes része a sin, ezért nekünk egy olyan szög kell, ahol cos pozitív, sin pedig negatív, ez pedig a 4. negyedben van (270-360ig).
A szöget pedig megkapjuk, sin(alfa) = b/r -ből, azaz -3at elosztjuk a sugárral, ami -3/gyok(12) = -3/2gyok(3) = -(gyok(3)*3) / 6 = -gyok(3) / 2, ez pedig a -60fok, ami a 300foknak felel meg.
(0- és 360 között ugye lenne még egy megoldás, a 240fok, de az elején leírtak miatt a 4. negyedben keressük a szöget, ezért a 300 a jó, mert ott lesz a cos pozitív)
Innen tehát z = gyok(12)*(cos300+i*sin300)
Én így szoktam csinálni.
x^4=1+i
1+i-t átírom trigonometrikus alakba:
r = gyok(1+1) = gyok(2)
első negyedben vagyunk, mert mindkettő pozitív
sin(alfa) = 1/gyok(2) -> alfa = 45fok
innen 1+i = gyok(2)*(cos45+i*sin45)
tehát x^4 = gyok(2)*(cos45+i*sin45)
trigonometrikus alakot úgy hatványozunk, hogy a sugarat annyiadik hatványra emeljük, a szöget pedig a hatványkitevővel szorozzuk. Ez alapján egy megoldást könnyen megkapunk
x1 = nyolcadikgyok(2)*(cos(45/4)+i*sin(45/4))
csak visszafele gondolkoztunk
A többi megoldást pedig azzal a logikával kapjuk, hogy tudjuk, hogy a szöget 4-el kell szorozni a hatványozásnál, viszont 360fok ugye már egy teljes kör, tehát ha valaminek a négyszerese 360+45 = 405fok, az is jó megoldás lesz. Hasonlóképpen a 3. és negyedik gyököt 720+45 = 765 és a 1080+45 = 1125 szögek segítségével kapjuk.
Tehát a gyökök:
x1 = nyolcadikgyok(2)*(cos(45/4)+i*sin(45/4))
x2 = nyolcadikgyok(2)*(cos(405/4)+i*sin(405/4))
x3 = nyolcadikgyok(2)*(cos(765/4)+i*sin(765/4))
x4 = nyolcadikgyok(2)*(cos(1125/4)+i*sin(1125/4))
Ezeket, ha gondolod vissza lehet alakítani sima beszorzással algebrai alakba.
Remélem tudtam segíteni :)
Ilyenekre van (többek között) a remek kis wolframalpha oldal:
Mondjuk a megoldásban nagy segítség, de a megértéshez kicsit több kell.
maci
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!