Miért nincs értelmezve a 0-val való osztás? Mit jelent ez?

Ha nem az absztrakt algebráról beszélünk (ahol definiálni kell 0/0-t) akkor nincs értelmezve.

Kezdjük az alapoknál, ha:

x/y = z, akkor z*y=x (y != 0)

15/3 = 5, akkor 5*3 = 15

Ja igen, itt is egy kikötés persze, hogy y nem lehet 0.

Ha 0*x=0, akkor ez hogy is van? 0-t mégis lehet 0-val osztani?

Nem, sőt, semmilyen számmal sem. Ezt bizonyítani fogjuk. Tekintsük az osztást úgy, mint az osztandót az osztó reciprokával (-1. hatványával) való szorzással.

x/y = x*y^-1

15/3 = 15*3^-1 = 15*(1/3) = 15/3

Magyarul 15/3 = 15/3. Jó, mi? Oké, alkalmazzuk ezt 0-ra.

Írjuk fel az egyenletet:

n*0^-1 = y

Hogy megtudjuk az y-t, meg kéne tudni 0 reciprokát. Ami szintén nincs deifinálva, de próbáljuk meg. Egy szám reciprokán ugye azt a számot értjük, amivel az eredeti számot megszorozva a szorzat értéke 1.

x*x^-1 = 1

5*5^-1 = 5*(1/5) = (5/1)*(1/5) = 5/5 = 1

Ezt próbáljuk meg megoldani 0-val, ha

x*x^-1 = 1, akkor

0*0^-1 = 1, nem?

Az elején leszögeztük, hogy 0*x=0. Akkor az eredmény:

0 = 1

Ezt úgy hívják, hogy ellentmondás. Mivel 0 nem egyenlő 1-el, ezért 0 reciprokát sem lehet definiálni, ennél fogva az egész műveletet (tehát az osztást) sem tudjuk elvégezni.

"A nullával való osztás nincs értelmezve. Ez azért van, mert akárhányszor adogatunk össze nullákat, az összeg mindig nulla marad, és soha nem lesz pozitív vagy negatív."

[link]

Elolvastam a kommenteket, és alapvetően annak van igaza, aki a visszaszorzásos módszerrel érvelt.

1:0=?

Azaz melyik az a szám, amivel ha megszorzom a 0-t, 1-et kapok?

Nincs ilyen szám! Mert bármivel megszorzom a 0-t, ugyanúgy 0 lesz a végeredmény.

De ha ez nem lenne elég, itt egy egyenlet, ami azért lesz hamis, mert 0-val osztottunk:

a=b (Hozzáadok a-t.)

a+a=a+b (Összevonom.)

2a=a+b (Kivonok belőle 2b-t.)

2a-2b=a+b-2b (Összevonom.)

2(a-b)=a-b (Elosztom "a-b"-vel.)

2=1 (Itt az eredmény.)

De hol a hiba?

Képzeld, mindaddig jó, hogy:

2(a-b)=a-b

Mert a-b=0, mivel a=b (mint ahogy az elején írtam.)

(2*0=0)

És az utolsó lépés a rossz, ahol a-b-vel osztok (igazából 0-val). Így tényleg az jön ki, hogy 1=2.

A lényeg az, hogy a 0-val való osztás lehetetlen, és ezért értelmezhetetlen a matematikában.

Tegyük fel, hogy 65 / 0 = 34.

Csakhogy akármi az eredmény, nem jó, mert mindig ha szorzással ellenőrzöl, lehet az eredmény 23, 1, 0, vagy 345 is, sőt, akármi, ha megszorzod nullával, vagyis visszaszorzod, akkor 0 jön ki mindig, soha nem 65. Tehát csak a nullát lehetne nullával osztani, mert akkor ha ellenőrzöl, akkor akármi is a hányados, az ellenőrzés eredménye eredménye 0 lesz, az osztandó. De az úgy hülyeség, ha akármi lehet az eredmény. Tehát azt sem.

Röviden:

65 / 0 = pl. 34

de 34 * 0 nem egyenlő 65.

Csak akkor lenne jó, ha az osztandó 0 lenne.

Ennyi az egész.

Azzal vitatkoznék (bár ősrégi a comment), aki azt írta, hogy számnak nem lehet határértéke, csak sorozatnak.

lim 1/x = nulla

x->végtelen

persze annak is van értelme, hogy

lim 6 = 6

t->z

mert 6 független t-től és z-től is.

0-val való osztás esetében pedig a határérték az, aminek van értelme, mondok egy jó példát.

tg(x) = sin(x) / cos(x)

Itt a nevező ugye nem lehet nulla, mert 0-val nem lehet osztani. Ezért cos(x) nem lehet 0, vagyis x = pi/2 + k*pi, ahol k eleme Z (egész számok) nem fordulhat elő. Az értelmezési tartomány ezen pontjain a tangensfüggvény láthatóan nincs értelmezve, viszont "közelítget" egy x = pi/2 + k*pi egyenest, miközben + és - végtelenbe tart.

Ilyenkor azt mondjuk, hogy

lim tg(x) = sin(x)/cos(x) = végtelen

x->pi/2

Vagyis tg(x) tart végtelenbe, ha x tart a pi/2-höz. Ilyenkor tart a nevező a 0-hoz. Ennek így van értelme, de 0-val természetesen nem osztunk, csak értelmezhetjük a kifejezés határértékét (és még biztosan sok izgalmas dolgot tehetünk, ezt a matematikusok jobban tudják :)

AZ R=U/I Ohm-törvény esetében (ezt is írta valaki) zérus áramerősséget feltételezve az a helyzet, hogy nincs összekötve az a két pont, amelyek között az U feszültséget mérjük. Ilyenkor valóban végtelen az ellenállás, hiszen nincs vezeték, így nem folyik áram sem. Ez egy egyszerű gyakorlati példa, ilyenkor nyilván nincs értelme ellenállást számolni, de ha mégis szeretnénk, akkor nem 0-val osztunk, hanem határértéket számolunk azt hiszem.

Utolsó válaszoló, kiegészítenélek. Pontosabban egy kis magyarázat. Végezzük el:

1/0,1 = 10

1/0,01 = 100

1/0,001 = 1000

Tehát minél kisebb számmal osztunk annál nagyobb lesz az érték. Ha minél kisebb számmal osztunk az azt jelenti, hogy az osztó egyre közelebb kerül a 0-hoz.

1/0 = VÉGTELEN, mert annál kisebb pozitív számot nem tudunk találni.

EGYSZERŰEN: Minél kisebb számmal osztunk annál nagyobb fog kijönni, úgyhogy 0-nál valami nagyon nagynak kell kijönnie. Ez a végtelen.

@17:25

Ez azért nem igaz mert, ha a 0-át a másik oldalról azaz bal oldalról közelítem vagyis

1/-0,1 = -10

1/-0,01 = -100

1/-0,001 = -1000

akkor e szerint 1/0 az negatív végtelen. +/+=+ -/+=- +/-=- -/-=+ A nulla viszont se nem pozitív se nem negatív.

Szakszerűen mondva limes epszilon->0 1/epszilon (az 1/epszilon nullában vett határértékét keressük). A határértéke akkor és csak akkor létezhet, ha a bal és a jobb oldali határértéke megegyezik. Különben csak jobb és bal oldali határértékről beszélünk. Egy aritmetikai művelet a szokásos algebrai struktúra felett vagyis ez esetben egy osztás értéke csakis véges lehet míg határérték lehet végtelen. Azonban a matematikában sokféle végtelen van. Ez esetben ha vesszük pl a jobb oldali határértéket akkor potenciális végtelenről beszélünk (és nem aktuális végtelenről). Vagyis minden határon túl növekszik ahogy egyre jobban közelítjük a 0-át jobb oldalról, de mindig véges értékről beszélünk. Ha veszünk egy bármely N pozitív számot akkor tudunk hozzá mondani olyan nullánál nagyobb epszilont epszilon-t ahol 1/epszilon>N.

0/0 bármilyen szám lehet

x÷y = z mert z×y = X

Ha az X és az y is 0 akkor 0/0 = Z mivel z×0 = 0